Để giải bài toán này, ta cần tính tổng

\[
A = \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{2009^2} + \frac{1}{2010^2}
\]

Chúng ta biết rằng tổng của dãy số dạng này có một số tính chất hữu ích. Cụ thể, chúng ta có thể so sánh \( A \) với tổng của các hạng tử là \( \frac{1}{n^2} \) cho n = 1 đến ∞, là π²/6, và từ đó có thể suy luận được về giá trị của \( A \).

Mỗi hạng tử \( \frac{1}{n^2} \) sẽ giảm dần và khi n tăng lên, lượng tạo ra của chúng cũng giảm xuống.

Điểm quan trọng là \( A \) chỉ chứa các hạng tử từ \( n = 3 \) đến \( n = 2010 \), vì vậy ta có thể kết luận rằng:

\[
A < \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.64493
\]

Do đó, \( A > 0 \) và có thể kiểm tra gần đúng với các giá trị đã biết.

Qua phân tích sơ bộ, có thể dễ dàng nhận thấy rằng:

\[
A < \frac{1}{2}
\]

Vậy đáp án chính xác là:

**A < \frac{1}{2}**.