Gọi số tự nhiên hai chữ số cần tìm là \( xy \), trong đó \( x \) là chữ số hàng chục và \( y \) là chữ số hàng đơn vị. Ta có thể biểu diễn số đó dưới dạng:

\[
N = 10x + y
\]

Theo đề bài, khi chia số \( N \) cho hiệu của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị, tức là \( x - y \), ta có:

\[
\frac{N}{x - y} = 15 \text{ (thương)} + \frac{2}{x - y} \text{ (dư)}
\]

Do đó, ta có phương trình:

\[
N = 15(x - y) + 2
\]

Thay \( N \) vào phương trình trên:

\[
10x + y = 15(x - y) + 2
\]

Mở rộng phương trình:

\[
10x + y = 15x - 15y + 2
\]

Chuyển tất cả về một phía:

\[
10x + y - 15x + 15y - 2 = 0
\]

Rút gọn lại:

\[
-5x + 16y - 2 = 0
\]

Hay chuyển lại thành:

\[
5x = 16y - 2
\]

Từ đó ta có:

\[
x = \frac{16y - 2}{5}
\]

Chúng ta cần \( x \) là một số tự nhiên và \( x \) phải là một chữ số từ 1 đến 9, đồng thời \( y \) cũng cần là một chữ số từ 0 đến 9. Bây giờ, ta sẽ thay các giá trị của \( y \) từ 0 đến 9 để kiểm tra xem \( x \) có phải là số nguyên hay không.

1. \( y = 0 \): \( x = \frac{16(0) - 2}{5} = -\frac{2}{5} \) (không hợp lệ)
2. \( y = 1 \): \( x = \frac{16(1) - 2}{5} = \frac{14}{5} = 2.8 \) (không hợp lệ)
3. \( y = 2 \): \( x = \frac{16(2) - 2}{5} = \frac{30}{5} = 6 \) (hợp lệ, \( x = 6 \))
4. \( y = 3 \): \( x = \frac{16(3) - 2}{5} = \frac{46}{5} = 9.2 \) (không hợp lệ)
5. \( y = 4 \): \( x = \frac{16(4) - 2}{5} = \frac{62}{5} = 12.4 \) (không hợp lệ)
6. \( y = 5 \): \( x = \frac{16(5) - 2}{5} = \frac{78}{5} = 15.6 \) (không hợp lệ)
7. \( y = 6 \): \( x = \frac{16(6) - 2}{5} = \frac{94}{5} = 18.8 \) (không hợp lệ)
8. \( y = 7 \): \( x = \frac{16(7) - 2}{5} = \frac{110}{5} = 22 \) (không hợp lệ)
9. \( y = 8 \): \( x = \frac{16(8) - 2}{5} = \frac{126}{5} = 25.2 \) (không hợp lệ)
10. \( y = 9 \): \( x = \frac{16(9) - 2}{5} = \frac{142}{5} = 28.4 \) (không hợp lệ)

Từ đó, ta tìm thấy giá trị hợp lệ duy nhất là khi \( y = 2 \) và \( x = 6 \). Vậy số tự nhiên cần tìm là:

\[
N = 10x + y = 10 \cdot 6 + 2 = 62
\]

Ta kiểm tra lại:

- Hiệu của chữ số hàng chục và hàng đơn vị là \( 6 - 2 = 4 \).
- Khi chia \( 62 \) cho \( 4 \) thì thương là \( 15 \) và dư là \( 2 \):

\[
62 = 4 \cdot 15 + 2
\]

Vậy số tự nhiên có hai chữ số đó là \( 62 \).