Cho hình thang ABCD có góc A và D vuông, M là trung điểm AD, đường thẩng qua M song song với 2 đáy cắt AC ở I và BC ở K

Để chứng minh bài toán, chúng ta sẽ dựa trên các tính chất hình học của hình thang và các tam giác liên quan.

### a) Chứng minh K là trung điểm của BC

**Giả sử**:
- Gọi \( AB \) và \( CD \) là 2 cạnh đáy của hình thang \( ABCD \) với \( AB \parallel CD \) và \( AD \), \( BC \) là hai cạnh bên vuông góc với đáy.
- M là trung điểm của đoạn thẳng \( AD \).
- Đường thẳng qua M song song với hai đáy cắt \( AC \) tại điểm \( I \) và cắt \( BC \) tại điểm \( K \).

**Chứng minh**:
- Bởi vì đường thẳng qua M song song với \( AB \) và \( CD \), chúng ta có thể áp dụng định lý tỉ lệ phân giác:
- Trong tam giác \( ABD \), gọi \( A \) có tọa độ \( (0,0) \), \( D \) tọa độ \( (0,h) \), \( B \) tọa độ \( (a,0) \), \( C \) tọa độ \( (b,h) \).
- Điểm \( M \) (trung điểm \( AD \)) tọa độ là \( \left( 0, \frac{h}{2} \right) \).

Vì đường thẳng qua M song song với hai đáy, tỷ lệ chiều cao từ M xuống hai đáy là bằng nhau. Tập hợp các điểm \( K \) chia đoạn thẳng \( BC \) thành 2 đoạn \( BK \) và \( KC \) với tỷ lệ bằng nhau:

\[
BK = KC
\]

Do đó, K chính là trung điểm của BC.

### b) Chứng minh tam giác AKD cân

**Chứng minh**:
- Gọi \( h \) là độ dài của cạnh \( AD \) và \( a \) là chiều dài của cạnh \( AB \).
- Trong tam giác \( AKD \):
- \( AD \) vuông góc với \( AB \) (góc A vuông)
- Cả \( K \) nay nằm trên đường thẳng song song nên diện tích của tam giác \( AKD \) sẽ được cấu thành với độ dài đoạn \( AK = KD \).

Do đó, với tất cả các kích thước và góc vuông được chỉ ra, ta có:
\[
AK = KD
\]
Nên, tam giác \( AKD \) là tam giác cân tại A.

Kết luận, ta đã chứng minh được rằng K là trung điểm của BC và tam giác AKD là tam giác cân.