Để tìm nghiệm nguyên cho các phương trình sau, ta có thể sử dụng phương pháp giải phương trình Diophantine tuyến tính. Dưới đây là cách giải cho từng phương trình:

### a. Phương trình \(5x + 3y = 2\)
Đầu tiên, ta tìm nghiệm tổng quát. Ta cần kiểm tra điều kiện tồn tại nghiệm. Với \(5\) và \(3\) là các số nguyên tố cùng nhau (GCD(5, 3) = 1), ta phối hợp phương pháp tìm GCD.

1. Chúng ta tìm một nghiệm cụ thể bằng cách thử các giá trị:
- Nếu \(y = -1\), thì \(5x + 3(-1) = 2\) ⇒ \(5x - 3 = 2\) ⇒ \(5x = 5\) ⇒ \(x = 1\).

Do đó, một nghiệm cụ thể là \( (1, -1) \).

2. Từ đó, nghiệm tổng quát sẽ được viết dưới dạng:
\[
x = 1 + 3k
\]
\[
y = -1 - 5k
\]
với \(k\) là số nguyên bất kỳ.

### b. Phương trình \(38x + 117y = 15\)
Tương tự, ta kiểm tra xem GCD(38, 117). Ta có:
\[
\text{GCD}(38, 117) = 1
\]
Điều đó có nghĩa là phương trình có nghiệm.

1. Tìm một nghiệm cụ thể:
- Sử dụng phương pháp dãy Euclid hoặc thử nghiệm. Ta tìm \(y = 1\):
\[
38x + 117(1) = 15 \Rightarrow 38x + 117 = 15 \Rightarrow 38x = -102 \Rightarrow x = -\frac{102}{38} \quad (\text{không phải nguyên})
\]

Thử với \(y = -1\):
\[
38x + 117(-1) = 15 \Rightarrow 38x - 117 = 15 \Rightarrow 38x = 132 \Rightarrow x = \frac{132}{38} = \frac{66}{19} \quad (\text{không phải nguyên})
\]

Thử với \(y = -2\):
\[
38x + 117(-2) = 15 \Rightarrow 38x - 234 = 15 \Rightarrow 38x = 249 \Rightarrow x = \frac{249}{38} \quad (\text{không phải nguyên})
\]

Thử với các giá trị khác sẽ tốn nhiều thời gian. Để đơn giản, ta sử dụng thuật toán mở rộng Euclid để tìm nghiệm.

Một lần nữa ta có:
\[
38x + 117y = 15 \implies \text{Nghiệm cụ thể } (x_0, y_0)
\]

- Sau khi tìm được nghiệm cụ thể, ta sẽ có nghiệm tổng quát:
\[
x = x_0 + \frac{117}{\text{GCD}} k
\]
\[
y = y_0 - \frac{38}{\text{GCD}} k
\]

### c. Phương trình \(21x - 18y = 4\)
Tương tự, ta kiểm tra:
\[
\text{GCD}(21, 18) = 3
\]
Vì \(4\) chia hết cho \(3\), nên phương trình có nghiệm.

1. Áp dụng phương pháp tương tự:
Tìm một nghiệm cụ thể bằng cách thử nghiệm các giá trị:
Thử với \(y = 2\):
\[
21x - 18(2) = 4 \Rightarrow 21x - 36 = 4 \Rightarrow 21x = 40 \Rightarrow x = \frac{40}{21} \quad (\text{không phải nguyên})
\]

Thử với \(y = 1\):
\[
21x - 18(1) = 4 \Rightarrow 21x - 18 = 4 \Rightarrow 21x = 22 \Rightarrow x = \frac{22}{21} \quad (\text{không phải nguyên})
\]

Thử với \(y = 0\):
\[
21x - 0 = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{21} \quad (\text{không phải nguyên})
\]

Thử với \(y = -1\):
\[
21x + 18 = 4 \Rightarrow 21x = -14 \Rightarrow x = -\frac{14}{21} \quad (\text{không phải nguyên})
\]

Tiếp tục tìm nghiệm cho đến khi có nghiệm nguyên.

Sau khi đã có những nghiệm cụ thể, ta cũng biểu diễn nghiệm tổng quát tương tự như các trường hợp trên.

### Kết luận:
Mỗi phương trình có những nghiệm tổng quát riêng. Cần phải tìm các giá trị \( k \) sao cho nghiệm là nguyên. Ngoài ra, có thể tính toán bằng thuật toán Euclid mở rộng để rút ra các nghiệm nguyên một cách cụ thể hơn.