Cho tam giác ABC có hai đường cao BE và CF. Gọi O là trung điểm BC 

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện theo hai phần:

### Phần a: Chứng minh 4 điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn

1. **Xác định các điểm**:
- Gọi E là giao điểm của đường cao BE với AC.
- Gọi F là giao điểm của đường cao CF với AB.

2. **Chứng minh góc**:
- Xét tam giác BEC:
- Góc BEC = 90° (do BE là đường cao).
- Góc BFC = 90° (do CF là đường cao).
- Ta có:
- ∠BEC + ∠BFC = 90° + 90° = 180°.

3. **Kết luận**:
- Do hai góc BAC và BFC bù nhau (tổng bằng 180°), theo định lý về đường tròn, bốn điểm B, C, E, F sẽ nằm trên cùng một đường tròn.

### Phần b: Chứng minh BC > EF

1. **Lập luận**:
- Xét tam giác BCF, theo định lý định chuẩn trong tam giác, có:
- BC là cạnh đối diện với góc A, tức là cạnh lớn nhất.
- EF là đoạn nối giữa hai điểm E và F, nằm trong tam giác BCF.

2. **Áp dụng bất đẳng thức**:
- Theo định lý bất đẳng thức tam giác, ta có:
- BC > EF, vì cạnh BC đối diện với góc A lớn hơn tổng chiều dài của đoạn EF.


### Kết quả

- Vậy ta đã chứng minh xong rằng bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn và khoảng cách BC lớn hơn EF.