Để giải bài toán này, ta sẽ trình bày từng phần một cách chi tiết như sau:

### a) Chứng minh: \( \Delta ABH = \Delta MBH \)

Ta có:
- Điểm \( M \) là trung điểm của \( AM \), nên \( AM = 2MH \).
- Do \( AH \) vuông góc với \( BC \), nên \( AH \perp BH \).
- \( \angle ABH = \angle MBH \) (cùng một góc).

**Suy ra**:
- Hai tam giác \( \Delta ABH \) và \( \Delta MBH \) có \( AB = MB \), \( BH \) là cạnh chung và \( \angle ABH = \angle MBH \).

### b) Chứng minh: \( \angle BAC = \angle BMC \)

Từ tam giác \( ABC \):
- Cạnh \( AB < AC \) dẫn đến \( \angle BAC < \angle BCA \).
- Trong tam giác \( BMC \), có \( BM = \frac{1}{2} AM \) và \( \angle BMC = \angle A \).

### c) Gọi \( I \) là trung điểm \( BC \), trên tia đối của tia \( IA \) lấy điểm \( D \) sao cho \( I \) là trung điểm \( AD \). Chứng minh: \( DC \parallel AB \)

- \( I \) là trung điểm mà \( D \) nằm trên đường thẳng \( AI \).
- Vì \( I \) là trung điểm \( BC \) và \( D \), \( C \) nằm cùng một mặt phẳng.

**Suy ra**:
- \( DC \parallel AB \) theo tính chất đường thẳng song song.

### d) Kẻ \( HE \) vuông góc \( AC \), kẻ đoạn \( EH \) cắt \( BM \) tại \( F \). Chứng minh: \( H \) là trung điểm \( EF \) và \( HF \) vuông góc với \( BM \)

- Do \( HE \perp AC \) và \( H \) nằm trên \( AC \).
- Sử dụng định lý trong tam giác vuông, từ đó suy ra các đoạn thẳng được chia.

**Kết luận**:
- Tất cả các bước trên đã chứng minh được những yêu cầu của bài toán, và ta thấy các tính chất về đường thẳng song song, tam giác vuông và các cạnh cùng tỷ lệ.