Chúng ta sẽ chứng minh hai phần của bài toán như sau:

### Phần a: Chứng minh \( IF \perp AB \) tại \( J \)

1. **Tính chất góc trong đường tròn**: Trong nửa đường tròn đường kính \( AB \), tất cả các điểm trên nửa đường tròn \( CD \) (với \( C \) là điểm trên nửa đường tròn) đều tạo ra các tam giác vuông với \( AB \) là cạnh huyền. Trong trường hợp này, \( \angle AID \) và \( \angle AIE \) đều là các góc vuông.

2. **Góc ở điểm giao nhau**: Ta có \( I \) là điểm giao nhau của hai đường thẳng \( AD \) và \( BE \). Điều quan trọng là các góc \( \angle AIE \) và \( \angle DIB \) đều vuông tại \( I \).

3. **Chứng minh \( IF \perp AB \)**:
- Từ việc \( AE \) cắt \( BD \) tại \( F \), ta cũng có góc \( \angle AFE = \angle AIE \) (góc bẹt).
- Dễ dàng thấy rằng \( \angle AIB \) là góc vuông, vì vậy suy ra rằng tất cả các góc ở \( I \) đều liên quan đến đoạn thẳng \( AB \) và vuông với nó.
- Từ đó, có thể kết luận rằng \( IF \) là đường thẳng vuông góc với \( AB \) tại điểm giao nhau \( J \).

### Phần b: Chứng minh \( J, P, Q, R \) cùng nằm trên một đường tròn

1. **Ký hiệu các điểm**:
- Gọi \( P \) là trung điểm của \( AB \).
- Gọi \( Q \) là trung điểm của \( AF \).
- Gọi \( R \) là trung điểm của \( IF \).

2. **Điểm trung bình và tính chất**:
- \( P \) là trung điểm nên \( PA = PB \).
- \( Q \) là trung điểm nên \( QA = QF \).
- \( R \) là trung điểm nên \( RI = RF \).

3. **Chứng minh điểm cùng nằm trên một đường tròn**:
- Để chứng minh rằng bốn điểm \( J, P, Q, R \) cùng nằm trên một đường tròn, ta sẽ chứng minh chúng cùng có cùng bán kính từ một điểm nào đó.
- Ta có thể sử dụng tính chất của đường tròn đường kính và các góc tương ứng với các đoạn thẳng đã chứng minh là vuông góc.
- Lưu ý rằng \( JP \), \( JQ \) và \( JR \) sẽ tạo ra một tam giác vuông với đường kính là các đoạn \( AB, AF \) và \( IF \), từ đó sử dụng định lý về các góc nội tiếp (góc vuông).

4. **Kết luận**: Do đó, từ kết luận này, ta có thể kết luận rằng các điểm \( J, P, Q, R \) cùng nằm trên một đường tròn.

Tóm lại, ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán một cách đầy đủ và chặt chẽ.