Để chứng minh các tỷ số lượng giác của một góc nhọn \(\alpha\), ta sử dụng định nghĩa của các tỷ số lượng giác và những tính chất của tam giác vuông.

### a) Chứng minh \( \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \) và \( \cotg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \)

Xét một tam giác vuông tại điểm \(A\) với góc nhọn \(\alpha\):

- Gọi \(BC\) là cạnh huyền, \(AB\) là cạnh đối diện với góc \(\alpha\), và \(AC\) là cạnh kề cạnh với góc \(\alpha\).
- Theo định nghĩa, ta có:
- \(\sin\alpha = \frac{AB}{BC}\)
- \(\cos\alpha = \frac{AC}{BC}\)

Từ những định nghĩa này, ta có thể biểu diễn \(\tan\alpha\) và \(\cotg\alpha\) như sau:

\[
\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{AB}{BC}}{\frac{AC}{BC}} = \frac{AB}{AC}
\]

\[
\cotg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\frac{AC}{BC}}{\frac{AB}{BC}} = \frac{AC}{AB}
\]

### b) Chứng minh \( \tan\alpha \cdot \cotg\alpha = 1 \)

Từ định nghĩa trên, ta có:

\[
\tan\alpha \cdot \cotg\alpha = \left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right) \cdot \left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right) = \frac{\sin\alpha \cdot \cos\alpha}{\cos\alpha \cdot \sin\alpha} = 1
\]

### c) Chứng minh \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \)

Xét lại tam giác vuông tại \(A\), theo định lý Pythagore:

\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]

Chia cả vế cho \(BC^2\):

\[
\left(\frac{AB}{BC}\right)^2 + \left(\frac{AC}{BC}\right)^2 = 1
\]

Từ đó, ta có:

\[
\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1
\]

Vậy, ta đã chứng minh được các tỷ số lượng giác cần thiết cho góc nhọn \(\alpha\).