Tìm số tự nhiên x sao cho: x chia cho 20, 25, 30 đều dư 15 và x chia hết cho 41 với 16 < x < 1000

Để tìm số tự nhiên \( x \) thỏa mãn các điều kiện:

1. \( x \) chia cho 20, 25, 30 đều dư 15.
2. \( x \) chia hết cho 41.
3. \( 16 < x < 1000 \).

**Bước 1: Xác định điều kiện đầu tiên**

Ta có:
- \( x \equiv 15 \mod 20 \)
- \( x \equiv 15 \mod 25 \)
- \( x \equiv 15 \mod 30 \)

Để dễ dàng hơn, ta chuyển các điều kiện này thành:
- \( x - 15 \equiv 0 \mod 20 \)
- \( x - 15 \equiv 0 \mod 25 \)
- \( x - 15 \equiv 0 \mod 30 \)

Điều này có nghĩa là \( x - 15 \) phải là bội số chung của 20, 25 và 30. Tính bội số chung nhỏ nhất (BCNN):

\[
\text{BCNN}(20, 25, 30) = 300
\]

Vậy \( x - 15 = 300k \) cho một số nguyên \( k \). Do đó, ta có:

\[
x = 300k + 15
\]

**Bước 2: Xác định điều kiện thứ hai**

Sử dụng điều kiện thứ hai \( x \equiv 0 \mod 41 \), ta thế vào:

\[
300k + 15 \equiv 0 \mod 41
\]

Giải phương trình này:

1. Tính \( 300 \mod 41 \):
\[
300 \div 41 \approx 7 \implies 300 - 7 \cdot 41 = 300 - 287 = 13 \quad \Rightarrow \quad 300 \equiv 13 \mod 41
\]

2. Thay vào phương trình:
\[
13k + 15 \equiv 0 \mod 41 \implies 13k \equiv -15 \mod 41 \implies 13k \equiv 26 \mod 41 \; (\text{sử dụng } -15 \equiv 26)
\]

**Bước 3: Tìm nghiệm cho \( k \)**

Để giải \( 13k \equiv 26 \mod 41\), tìm \( k \):

- Nhân \( 13^{-1} \) (ngược của 13 trong mod 41) với cả hai bên.

Tính \( 13^{-1} \):
- Thực hiện thuật toán Euclid mở rộng hoặc thử các giá trị:
- \( 13 \cdot 16 \equiv 1 \mod 41 \) ⇒ \( 13^{-1} \equiv 16 \mod 41 \)

Nhân với 16:
\[
k \equiv 26 \cdot 16 \mod 41
\]
Tính:
\[
26 \cdot 16 = 416 \quad \Rightarrow \quad 416 \div 41 = 10 \implies 416 - 10 \cdot 41 = 416 - 410 = 6 \quad \Rightarrow \quad k \equiv 6 \mod 41
\]

**Bước 4: Thay vào biểu thức \( x \)**

Thay \( k = 41m + 6 \) vào biểu thức của \( x \):
\[
x = 300(41m + 6) + 15 = 12300m + 1800 + 15 = 12300m + 1815
\]

**Bước 5: Tìm giá trị thích hợp cho \( m \)**

Yêu cầu \( 16 < x < 1000 \):
\[
16 < 12300m + 1815 < 1000
\]
Giải bất đẳng thức:
1. \( 12300m + 1815 > 16 \) luôn đúng với \( m \geq 0 \).
2. \( 12300m + 1815 < 1000 \):

Tính \( 1000 - 1815 \):
\(-815 < 12300m \) ⇒ khong có giới hạn cho \( m \geq 0 \)

Vì vậy, chỉ có \( m = 0 \) là giá trị duy nhất khả thi.

\[
x = 1815
\]

Kiểm tra \( 1815 \):
- \( 1815 \div 20 = 90 \) dư \( 15 \)
- \( 1815 \div 25 = 72 \) dư \( 15 \)
- \( 1815 \div 30 = 60 \) dư \( 15 \)
- \( 1815 \div 41 = 45 \) chia hết

Như vậy, không có giá trị nào của \( x \) trong khoảng \( 16 < x < 1000 \) thỏa mãn điều kiện.

**Kết luận**: Không tìm được số tự nhiên \( x \) nào thỏa mãn cả ba điều kiện.