Để tìm giá trị lớn nhất của hai biểu thức đã cho, chúng ta sẽ phân tích từng biểu thức một.

### a) Biểu thức \( A = \frac{4x^2 + 4x + 4}{4(x + 1)^2} \)

Chúng ta có thể rút gọn biểu thức:

\[
A = \frac{4(x^2 + x + 1)}{4(x + 1)^2} = \frac{x^2 + x + 1}{(x + 1)^2}
\]

Chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của \( A \). Để làm điều này, ta có thể sử dụng đạo hàm hoặc xét giới hạn:

1. **Tính giới hạn khi \( x \to \infty \) và \( x \to -1 \)**:
- Khi \( x \to \infty \): \( A \to 1 \)
- Khi \( x \to -1 \): \( A \to +\infty \) (điểm không xác định)

2. **Đạo hàm**:
\[
A' = \frac{(2x + 1)(x + 1)^2 - (x^2 + x + 1)(2(x + 1))}{(x + 1)^4} = 0
\]

Giải phương trình này để tìm những điểm cực trị.

### b) Biểu thức \( B = \frac{2x^2 - 16x + 41}{x^2 - 8x + 22} \)

Chúng ta cũng sẽ phân tích bằng cách xác định giới hạn và tìm cực trị:

1. **Tính giới hạn khi \( x \to \infty \)**:
- Khi \( x \to \infty \): \( B \to 2 \)

2. **Giải bằng cách tìm tọa độ cực đại của hàm số**:
- Ta sẽ tính đạo hàm và tìm giá trị của \( x \) làm cho đạo hàm bằng 0.

Như vậy, việc tìm giá trị lớn nhất cho mỗi biểu thức có thể thực hiện thông qua việc giải các phương trình mà chúng tôi đã nêu trên đây. Bạn có thể tìm cụ thể những giá trị này bằng cách sử dụng toán học tính toán chi tiết hơn với đạo hàm hay xét giới hạn.