Để giải bài toán này, chúng ta sẽ từng bước thực hiện yêu cầu:

### a) Thu gọn đơn thức A

Đơn thức A là:

\[
A = \left( \frac{2}{3} x^2 y^2 \right)^2 \cdot \left( -\frac{6}{5} x^3 y^3 \right)^2 \cdot ab
\]

1. Tính từng phần:

- \(\left( \frac{2}{3} x^2 y^2 \right)^2 = \frac{4}{9} x^4 y^4\)
- \(\left( -\frac{6}{5} x^3 y^3 \right)^2 = \frac{36}{25} x^6 y^6\)

2. Nhân các phần lại với nhau:

\[
A = \frac{4}{9} x^4 y^4 \cdot \frac{36}{25} x^6 y^6 \cdot ab = \frac{144}{225} x^{4+6} y^{4+6} ab = \frac{64}{100} x^{10} y^{10} ab
\]

### b) Khi đơn thức A có bậc là 22 thì a, b là gì?

Bậc của đơn thức A được tính bằng tổng số mũ của các biến:

\[
\text{Bậc} = 10 + 10 + 1 + 1 = 22
\]

Vậy:

- \(a + b = 2\)

### c) Khi đơn thức A có bậc là 23 thì a, b là gì?

Khi bậc là 23:

\[
10 + 10 + 1 + 1 = 23
\]

Vậy:

- \(a + b = 3\)

### d) Khi đơn thức A có bậc là 24 thì a, b là gì?

Khi bậc là 24:

\[
10 + 10 + 1 + 1 = 24
\]

Vậy:

- \(a + b = 4\)

### e) Tính giá trị trị của đơn thức A tại \(x = -1, y = -2; a = b = -1\)

Thay các giá trị vào A:

1. Thay \(x\) và \(y\):

\[
A = \frac{64}{100} (-1)^{10} (-2)^{10} (-1)(-1)
\]

Tính từng phần:

- \((-1)^{10} = 1\)
- \((-2)^{10} = 1024\)
- \(a = b = -1\)

2. Tính A:

\[
A = \frac{64}{100} \cdot 1 \cdot 1024 \cdot 1 = \frac{64 \cdot 1024}{100} = \frac{65536}{100} = 655.36
\]

Tóm lại, các giá trị là:

- bậc 22: \(a + b = 2\)
- bậc 23: \(a + b = 3\)
- bậc 24: \(a + b = 4\)
- Giá trị của A tại \(x = -1, y = -2; a = b = -1\) là \(655.36\).