Ta cần chứng minh rằng với mọi số nguyên \( n \), biểu thức \( (n^2 + n - 1)^2 - 25 \) chia hết cho 24.

Đầu tiên, ta có thể viết lại biểu thức đó như sau:

\[
(n^2 + n - 1)^2 - 25 = (n^2 + n - 1 - 5)(n^2 + n - 1 + 5) = (n^2 + n - 6)(n^2 + n + 4)
\]

Bây giờ, ta cần chứng minh rằng tích \( (n^2 + n - 6)(n^2 + n + 4) \) chia hết cho 24. Để làm điều này, ta sẽ kiểm tra tính chia hết của từng yếu tố trong tích với 3 và 8.

**Bước 1: Chia hết cho 3**

Ta xét \( n^2 + n \mod 3 \):

- Nếu \( n \equiv 0 \mod 3 \): \( n^2 + n \equiv 0 + 0 \equiv 0 \mod 3 \) \(\Rightarrow n^2 + n - 6 \equiv -6 \equiv 0 \mod 3\)
- Nếu \( n \equiv 1 \mod 3 \): \( n^2 + n \equiv 1 + 1 \equiv 2 \mod 3 \) \(\Rightarrow n^2 + n - 6 \equiv 2 - 6 \equiv -4 \equiv 2 \mod 3 \)
- Nếu \( n \equiv 2 \mod 3 \): \( n^2 + n \equiv 4 + 2 \equiv 6 \equiv 0 \mod 3 \) \(\Rightarrow n^2 + n - 6 \equiv 0 - 6 \equiv -6 \equiv 0 \mod 3\)

Như vậy:
- Với \( n \equiv 0 \mod 3 \) và \( n \equiv 2 \mod 3 \), \( n^2 + n - 6 \equiv 0 \mod 3\).
- Với \( n \equiv 1 \mod 3 \), \( n^2 + n + 4 \equiv 2 + 4 = 6 \equiv 0 \mod 3\).

Kết luận: Trong cả ba trường hợp, ít nhất một trong hai biểu thức \( n^2 + n - 6 \) hoặc \( n^2 + n + 4 \) chia hết cho 3.

**Bước 2: Chia hết cho 8**

Ta xét \( n^2 + n \mod 8 \):

- Nếu \( n \equiv 0 \mod 8 \): \( n^2 + n \equiv 0 + 0 \equiv 0 \mod 8 \) \(\Rightarrow n^2 + n - 6 \equiv -6 \equiv 2 \mod 8\)
- Nếu \( n \equiv 1 \mod 8 \): \( n^2 + n \equiv 1 + 1 \equiv 2 \mod 8 \) \(\Rightarrow n^2 + n - 6 \equiv 2 - 6 \equiv -4 \equiv 4 \mod 8\)
- Nếu \( n \equiv 2 \mod 8 \): \( n^2 + n \equiv 4 + 2 \equiv 6 \mod 8 \) \(\Rightarrow n^2 + n - 6 \equiv 6 - 6 \equiv 0 \mod 8\)
- Nếu \( n \equiv 3 \mod 8 \): \( n^2 + n \equiv 9 + 3 \equiv 12 \equiv 4 \mod 8 \) \(\Rightarrow n^2 + n - 6 \equiv 4 - 6 \equiv -2 \equiv 6 \mod 8\)
- Nếu \( n \equiv 4 \mod 8 \): \( n^2 + n \equiv 16 + 4 \equiv 20 \equiv 4 \mod 8 \) \(\Rightarrow n^2 + n - 6 \equiv 4 - 6 \equiv -2 \equiv 6 \mod 8\)
- Nếu \( n \equiv 5 \mod 8 \): \( n^2 + n \equiv 25 + 5 \equiv 30 \equiv 6 \mod 8 \) \(\Rightarrow n^2 + n - 6 \equiv 6 - 6 \equiv 0 \mod 8\)
- Nếu \( n \equiv 6 \mod 8 \): \( n^2 + n \equiv 36 + 6 \equiv 42 \equiv 2 \mod 8 \) \(\Rightarrow n^2 + n - 6 \equiv 2 - 6 \equiv -4 \equiv 4 \mod 8\)
- Nếu \( n \equiv 7 \mod 8 \): \( n^2 + n \equiv 49 + 7 \equiv 56 \equiv 0 \mod 8 \) \(\Rightarrow n^2 + n - 6 \equiv 0-6 \equiv -6 \equiv 2 \mod 8\)

Như vậy, trong các trường hợp khác nhau, ít nhất một trong hai biểu thức \( n^2 + n - 6 \) hoặc \( n^2 + n + 4 \) sẽ chia hết cho 8.

**Kết luận**

Từ hai bước trên, ta có thể kết luận rằng:
- \( (n^2 + n - 6)(n^2 + n + 4) \) chia hết cho 3.
- \( (n^2 + n - 6)(n^2 + n + 4) \) chia hết cho 8.

Vì 3 và 8 là phân số nguyên tố với nhau, nên \( (n^2 + n - 6)(n^2 + n + 4) \) chia hết cho \( 3 \times 8 = 24 \).

Do đó, ta khẳng định:
\[
(n^2 + n - 1)^2 - 25 \text{ chia hết cho } 24 \text{ với mọi số nguyên } n.
\]