Cho ΔABC cân tại A nội tiếp (O) AB = AC = a, ∠ABC = 120°. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và độ dài cung AB

Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Vẽ hình và đặt các điểm**: Gọi \( O \) là tâm của đường tròn nội tiếp và \( M \) là trung điểm của cung nhỏ \( AB \) trên đường tròn ngoại tiếp.

2. **Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp**:
- Đầu tiên, chúng ta có thể sử dụng công thức tính bán kính \( R \) của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Với tam giác \( ABC \) có cạnh \( AB = AC = a \) và góc \( ABC = 120^\circ \):
\[
R = \frac{a}{2 \sin(\frac{\angle ABC}{2})} = \frac{a}{2 \sin(60^\circ)} = \frac{a}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{3}}.
\]

3. **Tính độ dài cung nhỏ \( AB \)**:
- Độ dài cung \( AB \) của vòng tròn ngoại tiếp được tính bằng công thức:
\[
L = R \cdot \theta,
\]
trong đó \( \theta \) là góc ở tâm \( O \) tương ứng với cung \( AB \). Từ tam giác \( ABC \), góc \( AOB = 120^\circ \).
- Chuyển đổi độ sang radian:
\[
\theta = \frac{120^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{2\pi}{3}.
\]
- Thay vào công thức tính độ dài cung:
\[
L = R \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{a}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi a}{3\sqrt{3}}.
\]

### Kết quả:

1. Bán kính đường tròn ngoại tiếp là
\[
R = \frac{a}{\sqrt{3}}.
\]

2. Độ dài cung nhỏ \( AB \) là
\[
L = \frac{2\pi a}{3\sqrt{3}}.
\]