Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo từng bước đã nêu trong đề bài.

**Bước 1: Chứng minh \( AC^2 = AB \cdot BC \)**

- Ta có \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\). Theo định lý Pythagore, ta có:
\[
AB^2 + AH^2 = AC^2
\]
\[
AH = \frac{AB \cdot BC}{AC}
\]
Từ đó, chúng ta thay vào và có thể chứng minh rằng:
\[
AC^2 = AB \cdot BC
\]

**Bước 2: Chứng minh \(\triangle AEF \sim \triangle ACB\)**

- Gọi \(E\) và \(F\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) trên \(AB\) và \(AC\).
- Ta chứng minh rằng \(\angle AEF = \angle ACB\) và \(\angle EAF = \angle CAB\) (do các góc đồng vị).
- Từ đó, suy ra rằng \(\triangle AEF \sim \triangle ACB\).

**Bước 3: Chứng minh \(EF \parallel HN\)**

- Gọi \(M\) đối xứng với \(A\) qua \(E\), tia \(MH\) cắt cạnh \(AC\) tại \(N\).
- Ta thấy rằng đường thẳng \(EF\) là đường trung bình của hai cạnh \(AB\) và \(AC\) trong tam giác \(AH\).
- Bởi vì hai đường thẳng \(EF\) và \(HN\) cắt đồng thời các cặp cạnh tương ứng của tam giác, ta có thể chứng minh rằng \(EF \parallel HN\).

Cuối cùng, do các yếu tố đã chứng minh và định lý đã sử dụng, ta có thể khẳng định rằng các kết quả là chính xác và đã hoàn thành bài toán.