Tìm các giá trị của a để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Để tìm giá trị của \( a \) sao cho biểu thức \( A = \frac{1}{1 - \cos a} \) đạt giá trị nhỏ nhất, trước tiên chúng ta hãy xem xét miền xác định của biểu thức.

Biểu thức này không hợp lệ khi \( 1 - \cos a = 0 \), tức là

\[
\cos a = 1 \quad \Rightarrow \quad a = 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}).
\]

Điều này có nghĩa là \( A \) sẽ cần được xem xét trong các khoảng giá trị khác mà \( \cos a < 1 \).

Giá trị của \( \cos a \) nằm trong khoảng từ -1 đến 1. Theo đó, \( 1 - \cos a \) sẽ nằm trong khoảng từ 0 đến 2 (mà không bao gồm 0). Do đó, biểu thức \( A \) sẽ nằm trong khoảng

\[
A > \frac{1}{2}.
\]

Chúng ta xem xét khi nào \( 1 - \cos a \) đạt giá trị tối đa. Để đạt giá trị tối đa, \( \cos a \) phải đạt giá trị tối thiểu, tức là -1:

\[
1 - \cos a \quad \text{đạt giá trị tối đa khi} \quad a = (2k + 1)\pi \quad (k \in \mathbb{Z}).
\]

Trong trường hợp đó,

\[
A = \frac{1}{1 - (-1)} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}.
\]

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là

\[
\frac{1}{2}
\]

và nó đạt được khi

\[
a = (2k + 1)\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.
\]

Tóm lại, giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \( \frac{1}{2} \) và đạt được khi \( a = (2k + 1)\pi \) với \( k \) là số nguyên.