Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh rằng bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên một đường tròn

1. **Xác định các điểm**:
- A: đỉnh của tam giác ABC.
- D: chân đường cao từ B đến AC.
- E: chân đường cao từ C đến AB.
- H: giao điểm của hai đường cao BD và CE.

2. **Sử dụng Tính chất đường cao**:
- Ta có: góc ADB = góc AEB = 90° (vì D và E là chân đường cao).

3. **Xét tam giác ADB và AEB**:
- Do đó, tam giác ADB và tam giác AEB đều có một góc bằng 90 độ tại D và E.
- Suy ra rằng các điểm A, D, H, E đều nằm trên một đường tròn có đường kính là AH.

### b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ME là tiếp tuyến của đường tròn (O)

1. **Xác định M**:
- M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

2. **Xét điểm E**:
- Điểm E là chân đường cao từ C, nên CE vuông góc với AB.

3. **Xét đường tròn (O)**:
- Đường tròn (O) là đường tròn đi qua các điểm A, D, E.
- Từ tính chất của đường kính và tiếp tuyến, ta có:
- ME vuông góc với CE, nên ME là tiếp tuyến tại điểm E.

### Kết luận:
- Qua hai phần chứng minh trên, ta đã hoàn thành yêu cầu của bài toán.

Nếu cần thêm giải thích chi tiết hơn về từng bước, bạn có thể yêu cầu!