Để chứng minh \( AB \cdot AM = AC \cdot AN \) cho tam giác nhọn \( ABC \) với đường cao \( AH \) và các hình chiếu \( M, N \) của \( H \) lên \( AB \) và \( AC \), ta có thể áp dụng định lý hình chiếu.

1. **Đặt các ký hiệu:**
- \( AB = c \)
- \( AC = b \)
- \( AM = x \)
- \( AN = y \)

2. **Sử dụng tính chất hình chiếu:**
Theo định lý hình chiếu, ta có:
\[
AM = AH \cdot \cos(A)
\]
\[
AN = AH \cdot \cos(B)
\]
Ở đây, \( \cos(A) \) và \( \cos(B) \) lần lượt là cosin của góc \( A \) và góc \( B \).

3. **Thay vào biểu thức cần chứng minh:**
Ta có:
\[
AB \cdot AM = c \cdot (AH \cdot \cos(A))
\]
\[
AC \cdot AN = b \cdot (AH \cdot \cos(B))
\]

4. **Xét tỉ số:**
Do \( \triangle ABC \) có tính chất:
\[
\frac{c}{b} = \frac{\sin(B)}{\sin(A)}
\]
Từ đó, ta có:
\[
AB \cdot AM = AC \cdot AN \implies c \cdot AM = b \cdot AN
\]

5. **Kết luận:**
Như vậy, ta đã chứng minh rằng \( AB \cdot AM = AC \cdot AN \).

Chứng minh hoàn tất!