Để tính thể tích hình chóp \(A.CDMN\) và tính \(AK\), chúng ta làm theo các bước sau:

### a) Tính thể tích hình chóp \(A.CDMN\)

Thể tích của hình chóp được tính bằng công thức:

\[
V = \frac{1}{3} \cdot S_b \cdot h
\]

Trong đó:
- \(S_b\) là diện tích đáy.
- \(h\) là chiều cao của chóp.

1. **Tính diện tích đáy \(S_b\)**:
Đáy của chóp \(A.CDMN\) là hình vuông \(CDMN\).
- Giả sử \(MN = 10 \, cm\).
- Diện tích đáy \(S_b = MN^2 = 10^2 = 100 \, cm^2\).

2. **Chiều cao \(h\)** của chóp chính là đoạn \(AH\):
- \(h = AH = 12 \, cm\).

3. **Tính thể tích**:
\[
V = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 12 = \frac{1200}{3} = 400 \, cm^3.
\]

### b) Tính \(AK\) (làm tròn đến hàng đơn vị)

Giả sử \(K\) là trung điểm của cạnh \(MN\).

- Đầu tiên, tính độ dài \(MK\):
\[
MK = \frac{MN}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, cm.
\]

- Sử dụng định lý Pythagore để tính \(AK\):
Trong tam giác vuông \(AHK\):
\[
AK = \sqrt{AH^2 + HK^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \, cm.
\]

### Kết quả

- Thể tích hình chóp \(A.CDMN\) là \(400 \, cm^3\).
- Đoạn \(AK\) (làm tròn đến hàng đơn vị) là \(13 \, cm\).