Cho tam giác ABC cân tại A . Đường cấp AH = 2cm, BC = 8 cm. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng AH ở D

Cho tam giác cân \( ABC \) tại \( A \) với \( AH = 2 \) cm (đường cao từ \( A \) xuống \( BC \)) và \( BC = 8 \) cm. Để giải bài toán, đầu tiên ta cần xác định một số điểm và tính toán:

### Bước 1: Tính chiều cao \( CH \)

Tam giác \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \), do đó \( H \) là trung điểm của \( BC \).
- Tính \( BH \) và \( HC \):
\[
BH = HC = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm}
\]

### Bước 2: Tính độ dài \( AC \)

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( AHC \):
\[
AC^2 = AH^2 + HC^2
\]
\[
AC^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20 \Rightarrow AC = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \text{ cm}
\]

### Bước 3: Xác định điểm \( D \)

Điểm \( D \) là giao điểm của đường vuông góc tại \( C \) với đường thẳng \( AH \). Theo định nghĩa, \( AD \) chính là đoạn thẳng mà \( D \) nằm trên \( AH \) và \( C \) nằm vuông góc với \( AC \).

### Bước 4: Chứng minh \( B \), \( C \), \( D \) thuộc đường tròn đường kính \( AD \)

Theo định lý đường tròn đường kính, điểm \( D \) sẽ nằm trên đường tròn nếu \( \angle BDC = 90^\circ \). Vì \( CD \) vuông góc với \( AC \) và \( AC \) cũng là chiều cao, nên \( D \) là trên đường tròn đường kính \( AD \).

### Bước 5: Tính độ dài \( AD \)

Để tính \( AD \), chúng ta có thể dùng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( AHD \):
\[
AD^2 = AH^2 + HD^2
\]

Bây giờ, ta cần tìm \( HD \). Với \( D \) nằm trên đường thẳng \( AH \) mà \( D \) là giao điểm của đường vuông góc với \( AC \), ta tính:
- \( D \) nằm trên đường cao \( AH = 2 \) cm, suy ra \( HD \) sẽ bằng chiều cao, tức \( HD = 2 \).

Vì vậy, dưới giả thiết \( AH \) không thay đổi, ta có:
\[
AD = AH = 2 \, \text{cm}
\]

Như vậy, đáp án là:

### Kết quả:

a. \( B, C, D \) thuộc đường tròn đường kính \( AD \).

b. Độ dài \( AD = 2 \, \text{cm} \).