Để tìm giá trị của \( m \) sao cho đa thức \( A \) có bậc bằng 8, chúng ta cần xác định bậc của từng lần trong biểu thức và đảm bảo rằng bậc cao nhất không vượt quá 8.

Xét từng hạng tử trong đa thức \( A = 2x^8 + x^4y^{2m} - \frac{1}{4}xy + \frac{2}{3}xy^2 - 2x^8 \):

1. \( 2x^8 \): bậc là 8.
2. \( x^4y^{2m} \): bậc là \( 4 + 2m \).
3. \( -\frac{1}{4}xy \): bậc là \( 1 + 1 = 2 \).
4. \( \frac{2}{3}xy^2 \): bậc là \( 1 + 2 = 3 \).
5. \( -2x^8 \): bậc là 8.

Từ đó, bậc cao nhất của \( A \) là:
- Nếu \( 4 + 2m < 8 \) thì bậc cao nhất sẽ là 8.
- Nếu \( 4 + 2m = 8 \), thì bậc cao nhất cũng là 8.

Giải phương trình \( 4 + 2m = 8 \):
\[
2m = 8 - 4
\]
\[
2m = 4
\]
\[
m = 2
\]

Vậy \( m \) phải là 2 để đảm bảo bậc của đa thức \( A \) là 8.