Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ tiến hành như sau:

### a) Chứng minh tam giác ADE cân

Xét tam giác ABC cân tại A, nghĩa là AB = AC. Theo giả thiết, ta có BE = CD.

Ta sẽ chứng minh rằng AD = AE.

- Gọi H là trung điểm của đoạn BC.
- Do tam giác ABC cân, chúng ta có BH = HC.

Vì BE = CD và B, C là hai điểm trên các cạnh AB và AC tương ứng, ta có thể xem xét tam giác ADE:

1. Từ hai tam giác ADE và ABE, ta có:
\[
AB = AC \quad (1)
\]

2. Theo tính chất của đoạn thẳng, từ BE = CD, ta có:
\[
AE - DE = BE - CD \quad (2)
\]

Từ (1) và (2), có thể rút ra rằng tam giác ADE là tam giác cân. Do đó, AE = AD.

### Tính các góc của tứ giác BCDE

- Góc BAE = góc CAA (cùng bằng) = \(\alpha\).
- Góc ABE = góc ACD (cùng bằng) = \(\beta\).

Do tam giác ABC cân, ta có:
\[
\angle ABC = \angle ACB
\]

Do đó, các góc có thể được tính như sau:
\[
\angle DAE + \angle EAD = \angle ABE + \angle ACD
\]

### c) Chứng minh tứ giác BCDE là hình thang cân

Để chứng minh rằng tứ giác BCDE là hình thang cân, ta sẽ chứng minh rằng BC // DE và BC = DE.

1. **BC // DE:**
- Vì tại A, góc BAE = góc CAE (do tam giác cân) nên DE // BC.

2. **BC = DE:**
- Do BE = CD và các cạnh AD = AE, ta có thể suy ra BC = DE qua việc thay thế tương ứng.

Vậy tứ giác BCDE có tính chất hai cạnh đối diện song song và bằng nhau, do đó BCDE là hình thang cân.

### Kết luận

- Tam giác ADE là tam giác cân.
- Tứ giác BCDE là hình thang cân với các góc được tính toán từ các góc của tam giác ABC.