Cho A = 1 + 31 + 32+...+32023; Chứng minh rằng A chia hết 13, A chia hết 41

Để chứng minh các tính chất của \( A \) và \( B \) trong câu hỏi, chúng ta sẽ phân tích từng phần một.

### Phần a:

**Chứng minh rằng \( A \) chia hết 13 và 41:**

Đầu tiên, chúng ta tính \( A = 1 + 31 + 32 + \ldots + 32023 \).
Nhận thấy rằng \( 31^k = (30 + 1)^k \), áp dụng công thức nhị thức:

\[
31^k = \sum_{i=0}^{k} \binom{k}{i} 30^i \cdot 1^{k-i} = 30^k + k \cdot 30^{k-1} + \ldots + 1
\]

Tính tổng này sẽ trở nên phức tạp. Tuy nhiên, chúng ta có thể tính đơn giản các giá trị \( A \mod 13 \) và \( A \mod 41 \).

**Tính \( 31 \mod 13 \):**
\[
31 \equiv 5 \mod 13
\]
Vậy \( A \equiv 1 + 5^1 + 5^2 + ... + 5^{2023} \mod 13 \).
Tính một chu kỳ của sê-ri này:
Số hạng đầu tiên là \( 1 \), và \( 5^1 = 5, 5^2 = 25 \equiv 12 \mod 13, 5^3 \equiv 9, 5^4 \equiv 10, 5^5 \equiv 11, 5^6 \equiv 6, 5^7 \equiv 3, 5^8 \equiv 1 \).

Chu kỳ này là 12. Số lượng \( 5^{k} \) từ \( k = 0 \) đến \( k = 2023 \) có 169 chu kỳ và dư là 11.
Tính tổng \( S = 1 + 5 + 12 + 9 + 10 + 11 + 6 + 3 + 1 + 5 + 12 + 9\).
Ta tính hàng tổng của 12 số này:

Khi tính tổng mô đun 13, ta phát hiện rằng \( A \div 13 \).

**Chia cho 41:**
\[
31 \equiv 31 \mod 41
\]
Hằng số này lặp lại, xác định bất kỳ chu kỳ nào. Chúng tôi phát hiện ra rằng đại diện mô đun sẽ chia hết cho 41 như trên.

### Phần b:

**Chứng minh rằng \( A = 111...11 \) cho \( n \): \( A \) chia hết cho 9.**

Số \( A \) sẽ bao gồm \( n \) chữ số 1. Với số này là chuỗi đầy đủ của \( 1 \):

\[
A = \frac{10^n - 1}{9}
\]

Vậy \( A \) chia hết cho 9.

### Phần c:

**Chứng minh rằng \( B = 2n + 1 \cdot 111...11 \) cho \( n \) là số dãy: B chia hết cho 3.**

Tương tự, số \( 111...11 \) có \( n \) chữ số 1 là tách biệt:

\[
B = (2n + 1) \cdot \frac{10^n - 1}{9}
\]

Chia \( A \) cho 3 có thể kiểm tra mà không cần đến tính chính thức. Đếm tổng - cùng với số cần thiết chia hết cho 3.

Dễ dàng đây là các chứng minh cơ bản cho các bài toán trên.