Tính chiều cao của hình chóp. Tính thể tích của hình chóp. Tính diện tích xung quanh của hình chóp

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Tính chiều cao của hình chóp

Hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy là hình vuông. Đầu tiên, ta tính chiều dài cạnh của hình vuông ABCD. Chiều dài đường chéo của hình vuông được tính theo công thức:

\[
d = a\sqrt{2}
\]

Trong đó \(d\) là độ dài đường chéo, và \(a\) là chiều dài cạnh của hình vuông. Ta có:

\[
24 = a\sqrt{2} \Rightarrow a = \frac{24}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{2} \text{ cm}
\]

Bây giờ, ta sẽ tính chiều cao \(h\) của hình chóp. Ta sẽ xét tam giác SAB, trong đó:

- \(SA = 13\) cm (cạnh bên)
- \(AB = 12\sqrt{2}\) cm (cạnh đáy)

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông \(SAB\):

\[
SA^2 = h^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2
\]

Áp dụng các giá trị vào:

\[
13^2 = h^2 + \left(\frac{12\sqrt{2}}{2}\right)^2
\]
\[
169 = h^2 + (6\sqrt{2})^2
\]
\[
169 = h^2 + 72
\]
\[
h^2 = 169 - 72 = 97
\]
\[
h = \sqrt{97} \text{ cm}
\]

### b) Tính thể tích của hình chóp

Thể tích \(V\) của hình chóp được tính bằng công thức:

\[
V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{đáy}} \cdot h
\]

Trong đó, \(S_{\text{đáy}}\) là diện tích của đáy (hình vuông ABCD):

\[
S_{\text{đáy}} = a^2 = (12\sqrt{2})^2 = 288 \text{ cm}^2
\]

Bây giờ thay các giá trị vào công thức thể tích:

\[
V = \frac{1}{3} \cdot 288 \cdot \sqrt{97}
\]

### c) Tính diện tích xung quanh của hình chóp

Diện tích xung quanh \(S_{xxq}\) của hình chóp có công thức:

\[
S_{xxq} = \frac{1}{2} \cdot P_{\text{đáy}} \cdot l
\]

Trong đó \(P_{\text{đáy}}\) là chu vi đáy, và \(l\) là chiều dài cạnh bên (cạnh từ đỉnh xuống điểm nơi chân của cạnh đáy).

Chu vi của đáy (hình vuông) là:

\[
P_{\text{đáy}} = 4a = 4 \times 12\sqrt{2} = 48\sqrt{2} \text{ cm}
\]

Giờ thì thay vào công thức diện tích xung quanh:

\[
S_{xxq} = \frac{1}{2} \cdot 48\sqrt{2} \cdot 13
\]
\[
S_{xxq} = 24\sqrt{2} \cdot 13 = 312\sqrt{2} \text{ cm}^2
\]

### Kết quả:

- **Chiều cao**: \(h = \sqrt{97} \text{ cm}\)
- **Thể tích**: \(V = \frac{288}{3} \sqrt{97} \text{ cm}^3 = 96\sqrt{97} \text{ cm}^3\)
- **Diện tích xung quanh**: \(S_{xxq} = 312\sqrt{2} \text{ cm}^2\)