Để chứng minh bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau đây:

### a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng.

1. **Vẽ các đường kính**: Gọi \( C \) và \( D \) lần lượt là các điểm giữa trên đường kính \( AC \) và \( AD \) của hai đường tròn \( (O) \) và \( (O') \).

2. **Góc tạo thành**: Xét tam giác \( ABD \) trong đó \( AB \) là dây cung chung của hai đường tròn. Vì \( A \) và \( B \) nằm trên đường tròn \( O \) nên góc \( ACB = 90^\circ \). Tương tự, vì \( A \) và \( B \) cũng nằm trên đường tròn \( O' \), nên góc \( ADB = 90^\circ \).

3. **Kết luận**: Do \( AC \) vuông góc với \( AB \) và \( AD \) vuông góc với \( AB \), nên từ \( C \) và \( D \) vuông góc với một đồng đường thẳng, suy ra ba điểm \( C, B, D \) thẳng hàng.

### b) Chứng minh \( CD = 2 \cdot OO' \).

1. **Xét đường kính**: Gọi \( O \) và \( O' \) lần lượt là trung điểm của đường kính \( AC \) và \( AD \). Ta có \( OA = OC \) và \( O'A = OD \).

2. **Áp dụng định lý Pytago**: Ta có thể sử dụng định lý Pythagore cho các tam giác vuông:
\[
OC^2 + CB^2 = OB^2
\]
và
\[
OD^2 + DB^2 = O'B^2.
\]

3. Tổng hợp lại các phương trình sẽ cho ta mối liên hệ giữa \( CD \) và \( OO' \). Ta có thể tính toán được khoảng cách điểm \( C \) và \( D \) qua các thông số đã cho.

4. **Kết luận**: Kết quả cuối cùng cho thấy độ dài \( CD = 2 \cdot OO' \).

Từ những bước trên, ta đã hoàn thành hai yêu cầu của bài toán.