Cho (O; R) và (O'; R') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ dây cung AM của (O) và dây cung AN của (O') sao cho AM ⊥ AN

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành theo từng bước:

### a) Chứng minh \( OM \parallel ON \).

1. Gọi \( O \) và \( O' \) là tâm của hai đường tròn \((O; R)\) và \((O'; R')\).
2. Vì \( (O) \) và \( (O') \) tiếp xúc ngoài tại điểm \( A \), ta có \( OA + O'A = R + R' \).
3. Kể dây cung \( AM \) của đường tròn \((O)\) và dây cung \( AN \) của đường tròn \((O')\) sao cho \( AM \perp AN \).
4. Trong tam giác \( OAM \) và \( O'A'N \):
- Góc \( OAM = 90^\circ \) (vì \( AM \perp AN \)).
- Góc \( O'A'N = 90^\circ \) (vì \( AN \perp AM \)).
5. Theo định lý về góc nội tiếp, ta có \( OM \) vuông góc với \( AM \) và \( ON \) vuông góc với \( AN \).
6. Do đó, \( OM \) và \( ON \) cùng nằm trên một đường thẳng và \( OM \parallel ON \).

### b) Xác định vị trí của \( AM, AN \) để diện tích tứ giác \( OMNO' \) lớn nhất.

1. Tứ giác \( OMNO' \) sẽ có diện tích lớn nhất khi \( AM \) và \( AN \) đạt giá trị cực đại.
2. Để diện tích tứ giác \( OMNO' \) lớn nhất, chúng ta cần điều chỉnh vị trí \( A \), \( M \) và \( N \) sao cho \( AM \) và \( AN \) dài nhất.
3. Khi \( A \) nằm trên đoạn thẳng nối \( O \) và \( O' \), đồng thời \( M \) và \( N \) nằm gần điểm tiếp xúc của hai đường tròn, diện tích tứ giác \( OMNO' \) sẽ tăng lên.
4. Tối ưu hóa vị trí sẽ xảy ra khi \( M \) và \( N \) nằm ở các điểm cuối của dây cung \( AM \) và \( AN \), tức là kéo dài dây cung đến khi đạt giới hạn là bán kính của các đường tròn.

Tóm lại, để tứ giác \( OMNO' \) có diện tích lớn nhất, cần bố trí \( AM \) và \( AN \) sao cho giá trị của \( |AM| + |AN| \) là lớn nhất, đồng thời \( A \) cần nằm trên đoạn nối \( O \) và \( O' \).