Cho hình thang DEFG có DE//FG. Trên DF lấy I. Đường thẳng qua I // DE cắt DG tại H, EF tại K. Chứng minh: DH/DG + KE/EF = 1

Để chứng minh tỉ lệ \(\frac{DH}{DG} + \frac{KE}{EF} = 1\) trong hình thang \(DEFG\) với \(DE \parallel FG\), ta áp dụng tính chất của hình thang và các tỉ lệ trong tam giác.

1. **Ký hiệu**: Gọi \(DG = d\) và \(EF = e\).
2. **Tỉ lệ giữa các đoạn**:
- Do \(DE \parallel FG\) và đường thẳng \(IK \parallel DE\), chúng ta có hai cặp tam giác đồng dạng:
- Tam giác \(DHI\) và tam giác \(DGK\) đồng dạng (do góc \(\angle DHI = \angle DGK\) và \(\angle IDH = \angle KDG\)).
- Tam giác \(KEI\) và tam giác \(EFK\) đồng dạng (do góc \(\angle KEI = \angle EFK\) và \(\angle IKF = \angle KEF\)).

3. **Sử dụng định lý đồng dạng**:
- Từ tam giác đồng dạng \(DHI\) và \(DGK\):
\[
\frac{DH}{DG} = \frac{DI}{DK}
\]

- Từ tam giác đồng dạng \(KEI\) và \(EFK\):
\[
\frac{KE}{EF} = \frac{KI}{KF}
\]

4. **Tính tỉ lệ**:
- Ta thiết lập mối quan hệ giữa các đoạn của \(DF\), áp dụng quy tắc chia đoạn:
\[
DI + KI = DF
\]
từ đó viết ra:
\[
DI = DF - KI
\]

Sau đó, tỉ lệ tổng hợp:
\(\frac{DH}{DG} + \frac{KE}{EF}\) được biến đổi thành:
\[
\frac{DI}{DG} + \frac{KE}{EF} = \frac{DI}{DI + KI} + \frac{KI}{DI + KI}
\]
Từ đó, ta có:
\[
\frac{DH}{DG} + \frac{KE}{EF} = 1
\]

5. **Kết luận**: Ta đã chứng minh được rằng:
\[
\frac{DH}{DG} + \frac{KE}{EF} = 1
\]

Vậy là ta đã hoàn tất bài toán chứng minh tỉ lệ trong hình thang \(DEFG\).