Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
2x - 3y = -5 \\
|x| + 2y = 7
\end{cases}
\]

Chúng ta phân tích từng trường hợp cho giá trị tuyệt đối của \(x\).

### Trường hợp 1: \( x \geq 0 \)

Khi \(x\) không âm, ta có:

\[
|x| = x \quad \Rightarrow \quad x + 2y = 7
\]

Giải hệ:

1. \(2x - 3y = -5\) (1)
2. \(x + 2y = 7\) (2)

Từ (2), ta có:

\[
x = 7 - 2y
\]

Thay \(x = 7 - 2y\) vào (1):

\[
2(7 - 2y) - 3y = -5
\]

Giải phương trình:

\[
14 - 4y - 3y = -5 \\
14 - 7y = -5 \\
-7y = -19 \\
y = \frac{19}{7}
\]

Thay \(y = \frac{19}{7}\) vào (2):

\[
x + 2\left(\frac{19}{7}\right) = 7 \\
x + \frac{38}{7} = 7 \\
x = 7 - \frac{38}{7} \\
x = \frac{49}{7} - \frac{38}{7} = \frac{11}{7}
\]

### Giải nghiệm 1: \( (x, y) = \left(\frac{11}{7}, \frac{19}{7}\right) \)

### Trường hợp 2: \( x < 0 \)

Khi \(x\) âm, ta có:

\[
|x| = -x \quad \Rightarrow \quad -x + 2y = 7 \quad \Rightarrow \quad 2y = x + 7
\]

Giải hệ:

1. \(2x - 3y = -5\) (1)
2. \(-x + 2y = 7\) (3)

Từ (3), ta có:

\[
2y = x + 7 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{x + 7}{2}
\]

Thay \(y = \frac{x + 7}{2}\) vào (1):

\[
2x - 3\left(\frac{x + 7}{2}\right) = -5
\]

Nhân 2 vào cả phương trình:

\[
4x - 3(x + 7) = -10 \\
4x - 3x - 21 = -10 \\
x - 21 = -10 \\
x = 11
\]

Tuy nhiên, \(x = 11\) không thỏa mãn điều kiện \(x < 0\).

### Kết luận

Hệ phương trình chỉ có nghiệm duy nhất:

\[
\left(x, y\right) = \left(\frac{11}{7}, \frac{19}{7}\right)
\]