Gọi phân số cần tìm là \(\frac{a}{b}\), trong đó \(a\) là tử số và \(b\) là mẫu số.

Theo bài toán, ta có hai điều kiện:

1. Nếu chuyển 5 đơn vị từ mẫu số lên tử số, ta được phân số mới có giá trị 1. Thì ta có phương trình:
\[
\frac{a + 5}{b - 5} = 1
\]
Giải phương trình này, ta được:
\[
a + 5 = b - 5 \implies a - b = -10 \tag{1}
\]

2. Nếu chuyển 2 đơn vị từ mẫu số lên tử số, ta được phân số mới có giá trị \(\frac{3}{4}\). Ta có phương trình:
\[
\frac{a + 2}{b - 2} = \frac{3}{4}
\]
Nhân chéo để giải:
\[
4(a + 2) = 3(b - 2)
\]
\[
4a + 8 = 3b - 6 \implies 4a - 3b = -14 \tag{2}
\]

Bây giờ, ta có hệ phương trình gồm (1) và (2):
\[
\begin{cases}
a - b = -10 \\
4a - 3b = -14
\end{cases}
\]

Từ phương trình (1), ta có:
\[
a = b - 10
\]

Thay \(a\) vào phương trình (2):
\[
4(b - 10) - 3b = -14
\]
\[
4b - 40 - 3b = -14
\]
\[
b - 40 = -14
\]
\[
b = 26
\]

Sau khi tìm được \(b\), ta thay giá trị này vào phương trình để tìm \(a\):
\[
a = 26 - 10 = 16
\]

Vậy phân số cần tìm là:
\[
\frac{a}{b} = \frac{16}{26} = \frac{8}{13}
\]

Vậy phân số cần tìm là \(\frac{8}{13}\).