Để chứng minh bất đẳng thức \( a^2 - 3ab + 3b^2 \geq 0 \), chúng ta có thể xem xét biểu thức này như là một biểu thức bậc hai theo \( a \).

Ta viết lại biểu thức:

\[
a^2 - 3ab + 3b^2
\]

Xét như một hàm bậc hai theo biến \( a \):

\[
f(a) = a^2 - 3ab + 3b^2
\]

Để xác định dấu của hàm này, chúng ta sẽ tính toán các hệ số của nó:

- Hệ số của \( a^2 \) là 1 (dương).
- Hệ số của \( ab \) là \(-3b\).
- Hệ số tự do là \(3b^2\).

Để \( f(a) \) có nghiệm thực (tức là có nghiệm \( a \) sao cho \( f(a) = 0 \)), chúng ta cần tính định thức của đa thức bậc hai này:

\[
D = (-3b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3b^2 = 9b^2 - 12b^2 = -3b^2
\]

Ta có \( D < 0 \) khi \( b \neq 0 \). Điều này có nghĩa là hàm \( f(a) \) không có nghiệm thực và vì nó là hàm bậc hai với hệ số \( a^2 \) dương, nên hàm này luôn dương hoặc bằng 0.

Khi \( b = 0 \):

\[
f(a) = a^2 \geq 0
\]

Vậy, kết hợp lại, ta có:

\[
a^2 - 3ab + 3b^2 \geq 0 \quad \text{cho mọi } a, b, c \text{ trong } \mathbb{R}.
\]

Do đó, bất đẳng thức \( a^2 - 3ab + 3b^2 \geq 0 \) đã được chứng minh.