Để chứng minh tam giác \( AHB = CKA \) trong hình vẽ đã cho, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước mà bạn đã cung cấp:

### Phần 1: Chứng minh \( AB = AC \)

Do tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), có nghĩa là \( AB \) và \( AC \) là cạnh huyền. Để chứng minh \( AB = AC \), ta sử dụng định lý Pitago trong tam giác vuông:

1. Gọi độ dài \( AB = c \) và \( AC = b \).
2. Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( BM = MC \).
3. Trong tam giác vuông \( AMB \) và \( AMC \), theo định lý Pitago ta có:
\[
AB^2 = AM^2 + BM^2
\]
\[
AC^2 = AM^2 + MC^2
\]
4. Vì \( BM = MC \), nên:
\[
BM^2 = MC^2
\]
5. Kết hợp các công thức trên, ta suy ra:
\[
AB^2 = AM^2 + BM^2 = AM^2 + MC^2 = AC^2
\]
6. Từ đây, ta có \( AB = AC \).

### Phần 2: Chứng minh tam giác \( AHB = CKA \)

Để chứng minh \( \triangle AHB \cong \triangle CKA \), ta sẽ sử dụng các yếu tố sau:

1. **Ký hiệu các góc và cạnh:**
- Gọi \( \angle AHB = x \) và \( \angle CKA = y \).
- Lưu ý rằng \( BH \perp d \) và \( CK \perp d \).

2. **Chứng minh các cặp cạnh và góc:**
- Ta có \( AB = AC \) từ phần 1.
- Góc \( \angle AHB \) và \( \angle CKA \): Hai góc này là góc vuông, bởi \( BH \) và \( CK \) đều vuông góc với đường thẳng \( d \), tức là:
\[
\angle AHB = \angle CKA = 90^\circ.
\]
- Cạnh chung: \( AH = AK \) (cùng là đoạn thẳng vuông góc từ A xuống đường thẳng \( d \)), tức là chiều cao từ A đến đường thẳng \( d \).

3. **Áp dụng định lý cạnh-góc-cạnh (CGC):**
- Từ các điều kiện trên, ta kết luận rằng:
\[
\triangle AHB \cong \triangle CKA \quad \text{(cạnh, góc, cạnh)}
\]
(Hai tam giác có 1 cặp cạnh bằng nhau, góc vuông và 1 cặp cạnh khác bằng nhau).

Do đó, ta đã chứng minh được \( \triangle AHB \cong \triangle CKA \).