Để tìm giá trị của biểu thức \( y^2_{\text{cực đại}} - 2 \cdot y^2_{\text{cực tiểu}} \) với \( y \) là các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số \( y = \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 2} \), trước tiên chúng ta cần tìm giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số này.

Bắt đầu bằng cách xét hàm số:

\[
y = \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 2}
\]

Ta sẽ sử dụng quy tắc chia để phân tích hàm này. Thực hiện phép chia đa thức \( x^2 + 3x + 3 \) cho \( x + 2 \):

1. Chia \( x^2 \) cho \( x \) ta được \( x \).
2. Nhân lại \( x \) với \( x + 2 \) có kết quả là \( x^2 + 2x \).
3. Trừ đi ta có:
\[
(x^2 + 3x + 3) - (x^2 + 2x) = x + 3
\]
4. Tiếp tục chia \( x + 3 \) cho \( x + 2 \) ta được thêm \( 1 \).
5. Nhân lại \( 1 \) với \( x + 2 \) có kết quả là \( x + 2 \).
6. Trừ đi ta có:
\[
(x + 3) - (x + 2) = 1
\]

Kết quả của phép chia là:

\[
y = x + 1 + \frac{1}{x + 2}
\]

Bây giờ, ta sẽ tìm các giá trị cực đại và cực tiểu bằng cách tính đạo hàm:

\[
y' = 1 - \frac{1}{(x + 2)^2}
\]

Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị:

\[
1 - \frac{1}{(x + 2)^2} = 0 \implies (x + 2)^2 = 1
\]

Giải phương trình trên:

\[
x + 2 = 1 \quad \text{hoặc} \quad x + 2 = -1
\]

Từ đó suy ra:

\[
x = -1 \quad \text{hoặc} \quad x = -3
\]

Tính giá trị của \( y \) tại các điểm này:

1. Tại \( x = -1 \):

\[
y = \frac{(-1)^2 + 3(-1) + 3}{-1 + 2} = \frac{1 - 3 + 3}{1} = \frac{1}{1} = 1
\]

2. Tại \( x = -3 \):

\[
y = \frac{(-3)^2 + 3(-3) + 3}{-3 + 2} = \frac{9 - 9 + 3}{-1} = \frac{3}{-1} = -3
\]

Vậy \( y_{\text{cực đại}} = 1 \) và \( y_{\text{cực tiểu}} = -3 \).

Bây giờ ta tính biểu thức:

\[
y^2_{\text{cực đại}} - 2 \cdot y^2_{\text{cực tiểu}} = 1^2 - 2 \cdot (-3)^2 = 1 - 2 \cdot 9 = 1 - 18 = -17
\]

Cuối cùng, giá trị của biểu thức \( y^2_{\text{cực đại}} - 2 \cdot y^2_{\text{cực tiểu}} = -17 \).