Gọi số cần tìm là \( x \). Ta có yêu cầu sau:

\[
\frac{19 + x}{89 - x} = \frac{2}{7}
\]

Để giải phương trình này, ta tiến hành nhân chéo:

\[
7(19 + x) = 2(89 - x)
\]

Mở rộng cả hai bên:

\[
133 + 7x = 178 - 2x
\]

Sau đó, ta nhóm các số với \( x \) về một bên và các số tự do về một bên:

\[
7x + 2x = 178 - 133
\]

\[
9x = 45
\]

Chia cả hai bên cho 9:

\[
x = 5
\]

Vậy số cần tìm là \( x = 5 \).

**Kiểm tra lại:**

Thay \( x = 5 \) vào phương trình ban đầu:

\[
\frac{19 + 5}{89 - 5} = \frac{24}{84}
\]

Rút gọn \( \frac{24}{84} \):

\[
\frac{24 \div 12}{84 \div 12} = \frac{2}{7}
\]

Kết quả đạt yêu cầu. Vậy số cần tìm là \( \boxed{5} \).