Để giải bài toán, ta sẽ tiến hành từng bước theo phần a, b và c.

### a) Rút gọn biểu thức \( A \)

Biểu thức đã cho:
\[
A = \frac{\sqrt{x+15}}{x-9} + \frac{x}{x-\sqrt{x}} + \frac{2\sqrt{x+5}}{\sqrt{x}+3}
\]

Ta sẽ rút gọn từng phần:

1. **Phần 1**: \(\frac{\sqrt{x+15}}{x-9}\) không thể rút gọn tiếp, vì đây là một biểu thức đơn giản.

2. **Phần 2**: \(\frac{x}{x-\sqrt{x}}\)

Có thể viết lại như sau:
\[
\frac{x}{x-\sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}
\]

3. **Phần 3**: \(\frac{2\sqrt{x+5}}{\sqrt{x}+3}\)

Phần này cũng đơn giản, để nguyên.

### Kết hợp lại:

Biểu thức đầy đủ sẽ là:
\[
A = \frac{\sqrt{x+15}}{x-9} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} + \frac{2\sqrt{x+5}}{\sqrt{x}+3}
\]

Tùy theo điều kiện cụ thể về \(x\), biểu thức này có thể rút gọn thêm.

### b) Tìm \( x \) sao cho \( A = 2B \)

Ta biết:
\[
B = \frac{8\sqrt{x-3}}{14} = \frac{4\sqrt{x-3}}{7}
\]
Vậy, \( 2B = \frac{8\sqrt{x-3}}{7} \).

Giải:
\[
A = 2B \implies \frac{\sqrt{x+15}}{x-9} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} + \frac{2\sqrt{x+5}}{\sqrt{x}+3} = \frac{8\sqrt{x-3}}{7}
\]

Phần này tính toán có thể phức tạp và cần tìm các giá trị \(x\) hợp lệ.

### c) Chứng minh rằng không tồn tại giá trị thực \(x\) để \( A \) nhận giá trị là số nguyên

Để chứng minh điều này, ta cần tìm điều kiện cho các phần của \( A \) không thể cho giá trị nguyên.

1. Chú ý đến các căn bậc hai trong biểu thức, vì chúng có thể cho ra các giá trị không nguyên.
2. Thay đổi giá trị của \(x\) trong các phần khác nhau sẽ cho ra giá trị \(A\) không ổn định và không bao giờ là số nguyên trong một khoảng nào đó.

Cần kiểm tra cụ thể để khẳng định mỗi biểu thức sẽ không cho giá trị nguyên. Bạn có thể sử dụng đồ thị hoặc kiểm tra các giá trị cụ thể của \(x\) để cho ra tính chất này.

Nếu cần thêm chi tiết hoặc phương pháp cụ thể hơn, bạn có thể cung cấp thêm thông tin hoặc yêu cầu cụ thể.