Để phân tích đa thức \( x^3 + 8x + 9 \) thành nhân tử, chúng ta có thể sử dụng phương pháp tìm nghiệm của đa thức bậc ba. Đầu tiên, chúng ta có thể thử các số nguyên để tìm nghiệm.

Thử các giá trị:

1. \( x = 1 \):
\[
1^3 + 8 \cdot 1 + 9 = 1 + 8 + 9 = 18 \quad (\text{k không phải nghiệm})
\]

2. \( x = -1 \):
\[
(-1)^3 + 8 \cdot (-1) + 9 = -1 - 8 + 9 = 0 \quad (\text{k là nghiệm})
\]

Với \( x = -1 \) là một nghiệm, ta sẽ phân tích đa thức \( x^3 + 8x + 9 \) thành nhân tử bằng cách sử dụng phép chia đa thức.

Chia \( x^3 + 8x + 9 \) cho \( x + 1 \):

1. \( x^3 \div x = x^2 \)
2. Nhân và trừ:
\[
(x^3 + 8x + 9) - (x^3 + x^2) = -x^2 + 8x + 9
\]
3. \( -x^2 \div x = -x \)
4. Nhân và trừ:
\[
(-x^2 + 8x + 9) - (-x^2 - x) = 9x + 9
\]
5. \( 9x \div x = 9 \)
6. Nhân và trừ:
\[
(9x + 9) - (9x + 9) = 0
\]

Chúng ta có kết quả phân tích:
\[
x^3 + 8x + 9 = (x + 1)(x^2 - x + 9)
\]

Tiếp theo, kiểm tra xem \( x^2 - x + 9 \) có phân tích tiếp thành nhân tử hoặc có nghiệm không. Tính delta (Δ):
\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 1 - 36 = -35
\]
Vì \(\Delta < 0\) nên \( x^2 - x + 9 \) không có nghiệm thực và không thể phân tích tiếp thành nhân tử với các hệ số thực.

Vậy, kết luận cuối cùng là:
\[
x^3 + 8x + 9 = (x + 1)(x^2 - x + 9)
\]