Để phân tích đa thức \(x^4 + 3x^3 - 5x + 1\) thành nhân tử, chúng ta có thể dùng phương pháp thử nghiệm chia đa thức hoặc phương pháp tìm nghiệm.

### Bước 1: Tìm nghiệm thực

Đầu tiên, chúng ta có thể thử nghiệm một số giá trị của \(x\) để tìm nghiệm thực. Các giá trị thử nghiệm có thể là \(-1, 0, 1, 2, -2\).

- Với \(x = 1\):
\[
1^4 + 3 \cdot 1^3 - 5 \cdot 1 + 1 = 1 + 3 - 5 + 1 = 0
\]
Vậy \(x = 1\) là một nghiệm của đa thức.

### Bước 2: Chia đa thức cho \((x - 1)\)

Bây giờ, chúng ta có thể chia đa thức \(x^4 + 3x^3 - 5x + 1\) cho \((x - 1)\) bằng phương pháp chia đa thức.

1. Chia \(x^4\) cho \(x\) ta được \(x^3\).
2. Nhân \(x^3\) với \((x - 1)\), ta có \(x^4 - x^3\).
3. Trừ \(x^4 - x^3\) khỏi đa thức ban đầu, ta được:
\[
(x^4 + 3x^3 - 5x + 1) - (x^4 - x^3) = 4x^3 - 5x + 1
\]
4. Chia \(4x^3\) cho \(x\) ta được \(4x^2\).
5. Nhân \(4x^2\) với \((x - 1)\), ta được \(4x^3 - 4x^2\).
6. Trừ kết quả trên ta có:
\[
(4x^3 - 5x + 1) - (4x^3 - 4x^2) = 4x^2 - 5x + 1
\]
7. Chia \(4x^2\) cho \(x\) ta được \(4x\).
8. Nhân \(4x\) với \((x - 1)\), ta được \(4x^2 - 4x\).
9. Trừ kết quả trên ta có:
\[
(4x^2 - 5x + 1) - (4x^2 - 4x) = -x + 1
\]
10. Cuối cùng chia \(-x\) cho \(x\) ta được \(-1\).
11. Nhân \(-1\) với \((x - 1)\), ta được \(-x + 1\).
12. Trừ kết quả cuối cùng này ta được \(0\).

Kết quả của phép chia là:
\[
x^3 + 4x^2 + 4x - 1
\]

### Bước 3: Phân tích tiếp \(x^3 + 4x^2 + 4x - 1\)

Bây giờ chúng ta sẽ phân tích \(x^3 + 4x^2 + 4x - 1\).
Chúng ta thử nghiệm các nghiệm khác cho đa thức này.

Chúng ta có thể thử nghiệm với \(x = -1\):
\[
(-1)^3 + 4(-1)^2 + 4(-1) - 1 = -1 + 4 - 4 - 1 = -2 \quad (\text{not a root})
\]

Tiếp tục thử nghiệm với các nghiệm khác cho đến khi tìm thấy nghiệm hoặc thấy rằng nó không phân tích được thành nhân tử bậc thấp hơn.

### Kết luận

Phân tích của đa thức ban đầu đến bước này cho ta:
\[
x^4 + 3x^3 - 5x + 1 = (x - 1)(x^3 + 4x^2 + 4x - 1)
\]

Để hoàn tất, đa thức \(x^3 + 4x^2 + 4x - 1\) có thể được phân tích thêm nếu tìm được các nghiệm thực hoặc dùng các phương thức khác (như tìm nghiệm bằng đồ thị, phương pháp Newton, hoặc sử dụng công thức nghiệm của bậc ba), nhưng điều này có thể phức tạp hơn và sẽ không có nghiệm bậc thấp hơn.

Mong rằng phân tích trên giúp bạn hiểu rõ hơn về cách phân tích đa thức thành nhân tử!