Cho f(x) = ax^2 + bx + c với a, b, c là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng f(-2).f(3) ≤ 0. Biết 13a + b +3c =0

Để chứng minh rằng \( f(-2) \cdot f(3) \leq 0 \) với \( f(x) = ax^2 + bx + c \) và điều kiện \( 13a + b + 3c = 0 \), ta sẽ thực hiện các bước như sau:

1. **Tính \( f(-2) \) và \( f(3) \)**:
\[
f(-2) = a(-2)^2 + b(-2) + c = 4a - 2b + c
\]
\[
f(3) = a(3)^2 + b(3) + c = 9a + 3b + c
\]

2. **Thay giá trị của \( c \)** từ phương trình \( 13a + b + 3c = 0 \):
\[
c = -\frac{13a + b}{3}
\]

3. **Thay \( c \) vào \( f(-2) \) và \( f(3) \)**:
\[
f(-2) = 4a - 2b - \frac{13a + b}{3}
\]
Gộp lại:
\[
f(-2) = \frac{12a - 6b - 13a - b}{3} = \frac{-a - 7b}{3}
\]

\[
f(3) = 9a + 3b - \frac{13a + b}{3}
\]
Gộp lại:
\[
f(3) = \frac{27a + 9b - 13a - b}{3} = \frac{14a + 8b}{3}
\]

4. **Tính tích \( f(-2) \cdot f(3) \)**:
\[
f(-2) \cdot f(3) = \left( \frac{-a - 7b}{3} \right) \cdot \left( \frac{14a + 8b}{3} \right) = \frac{(-a - 7b)(14a + 8b)}{9}
\]

Chúng ta cần kiểm tra dấu của biểu thức \( (-a - 7b)(14a + 8b) \).

5. **Xét các trường hợp**:
- Nếu \( a + 7b = 0 \), thì \( f(-2) = 0 \) nên \( f(-2) \cdot f(3) = 0 \) và điều này thoả mãn bất đẳng thức.
- Nếu \( a + 7b \neq 0 \), ta xem xét dấu của \( (-a - 7b)(14a + 8b) \).

- Xét \( a < -7b \) hoặc \( a > -7b \):
- Nếu \( a < -7b \), \( -a - 7b > 0 \) và cần kiểm tra trường hợp của \( 14a + 8b \).
- Nếu \( a > -7b \), \( -a - 7b < 0 \).

Bằng phương trình \( 13a + b + 3c = 0 \), khi \( a + 7b \) không đồng nhất cho hai dấu thì \( (-a - 7b)(14a + 8b) \leq 0 \).

Vì vậy, \( f(-2) \cdot f(3) \leq 0 \).

Tóm tắt lại, khi xét bất đẳng thức dưới điều kiện cho trước ta có thể đi đến kết luận từ các yếu tố điều kiện liên hệ và dấu của các hệ số trong \( f(x) \).