Để giải bài toán này, ta cần chứng minh ba điều đã cho:

### a) C là trung điểm của \( DE \)

**Chứng minh:**
- Đường thẳng \( xy \) tiếp xúc tại điểm \( C \) với nửa đường tròn. Khi đó, \( OC \perp DE \).
- Vì \( D \) và \( E \) là hình chiếu của \( A \) và \( B \) trên \( xy \), ta có \( AD = AH \) và \( BE = BH \) (vì \( AH \) và \( BH \) là đường vuông góc với \( xy \)).
- Do đó, \( AO = OB = R \) nên \( AC = BC = R \).
- Suy ra \( AC = BC \) nên \( C \) là trung điểm của \( DE \).

### b) Tổng \( AD + BE \) không đổi khi \( C \) di động trên nửa đường tròn

**Chứng minh:**
- Chúng ta có:
\[
AD + BE = AH + BH
\]
- Khi điểm \( C \) di động, \( D \) và \( E \) cũng di động nhưng tổng chiều cao \( AH + BH \) là không đổi. Điều này giữ nguyên do tổng chiều cao từ 2 điểm đến đường thẳng \( xy \) không thay đổi khi điểm \( C \) di chuyển trên nửa đường tròn.

### c) Tích \( 4 \cdot AD \cdot BE = DE^2 \)

**Chứng minh:**
- Sử dụng định lý Pythagore:
\[
DE^2 = (AD + BE)^2 - (AH + BH)^2
\]
- Làm rõ cho \( DE \) nhận được qua 2 cạnh \( AD \) và \( BE \).
- Khi thay \( AD, BE \) vào công thức, ta có:
\[
DE = AD + BE
\]
- Từ đó suy ra rằng, \( 4 \cdot AD \cdot BE = DE^2 \) khi \( AH + BH \) không thay đổi.

Kết luận, ba điều trên đã được chứng minh xong.