Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng phần yêu cầu.

**1) Chứng minh tam giác BEC cân**

- Xét tam giác ABC vuông tại A, với AH là độ cao hạ từ A xuống BC. Theo định nghĩa, độ cao AH sẽ chia đoạn BC thành hai đoạn là BH và HC.
- Gọi O là trung điểm của đoạn HD (đường kính của đường tròn), ta có AO = AH.
- Ta có AE là tiếp tuyến của đường tròn tâm A bán kính AH. Theo tính chất của tiếp tuyến và đường kính, ta có \( AE \perp AD \).
- Từ đó, tam giác BEC có \( BE = AE \), và do \( AE \perp AD \) nên \( \angle ABE = \angle CBE \).
- Do đó, tam giác BEC cân tại B.

**2) Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH)**

- Theo định nghĩa, một đoạn thẳng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH) tại điểm E nếu nó tạo với bán kính AE tại điểm E một góc vuông.
- Trước đó, từ phần 1, ta đã thấy rằng \( AE \perp AD \). Do đó, ta có:
\[
\angle AEB = 90^\circ
\]
- Điều này chứng tỏ rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH) tại điểm E.

**3) Chứng minh BE = BH + DE**

- Xét tam giác BAH vuông tại A, theo định lý Pythagore, ta có:
\[
BE^2 = BH^2 + AE^2
\]
- Từ đó, do AE = DE (vì D là điểm trên đường kính, và E là điểm trên tiếp tuyến), nên:
\[
BE = BH + DE
\]
- Điều này hoàn tất phần chứng minh.

Vậy, ta đã chứng minh xong 3 phần của bài toán.