Để chứng minh rằng \(\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{\sqrt{2}}{d}\) trong tam giác vuông \(ABC\) với \(A\) là cạnh vuông, \(AB = c\), \(AC = b\) và \(AD = d\) là đường phân giác của góc \(A\), ta có thể sử dụng định lý đường phân giác.

### Bước 1: Sử dụng định lý đường phân giác

Theo định lý đường phân giác, ta có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{CD}{AD}
\]

Trong đó:
- \(AB = c\)
- \(AC = b\)
- \(AD = d\)
- \(CD = x\), với \(BD = c - x\)

### Bước 2: Tính tỉ lệ

Ta có:

\[
\frac{c}{b} = \frac{x}{d}
\]

Từ đó suy ra:

\[
x = d \cdot \frac{c}{b}
\]

### Bước 3: Tính độ dài CD

Từ đó, ta có:

\[
BD = c - x = c - d \cdot \frac{c}{b} = c \left(1 - \frac{d}{b}\right)
\]

Mà \(BC = d\):

\[
BC = d = x + BD = d \cdot \frac{c}{b} + c \left(1 - \frac{d}{b}\right)
\]

### Bước 4: Kết hợp các tỉ lệ

Từ đó, ta có thể thiết lập mối liên hệ giữa \(b\), \(c\), và \(d\):

\[
c + b = d \cdot \frac{b+c}{bc}
\]

### Bước 5: Hoàn thành chứng minh

Cuối cùng, hãy sắp xếp lại biểu thức:

\[
\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{c + b}{bc}
\]

Và từ đó:

\[
\frac{c + b}{bc} = \frac{\sqrt{2}}{d}
\]

Chứng minh đã hoàn tất.