Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần đã đề cập.

### a) Chứng minh OA là trung trực của đoạn BC

Gọi \( B, C \) là các tiếp điểm của đường tròn \( (O) \) với các tiếp tuyến \( AB \) và \( AC \). Theo định nghĩa của tiếp tuyến, chúng ta có:

- \( OA \perp AB \) (OA vuông góc với AB tại B)
- \( OA \perp AC \) (OA vuông góc với AC tại C)

Do đó, góc \( OAB = 90^\circ \) và góc \( OAC = 90^\circ \).

Từ đó, ta có tam giác vuông \( OAB \) và tam giác vuông \( OAC \). Vì \( OA \) là đường phân giác đi qua trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( BC \), nên:

- \( OM \) là độ dài từ \( O \) đến đoạn thẳng \( BC \) là trung trực của đoạn thẳng \( BC \).

Như vậy, suy ra \( OA \) là trung trực của đoạn \( BC \).

### b) Tính BM biết OM = 2 cm và AM = 8 cm

Chúng ta có đường thẳng \( AM \) (chứa điểm A và trung điểm M của đoạn BC). Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông \( OMA \):

- \( OA^2 = AM^2 + OM^2 \)

Biết rằng \( AM = 8 \) cm và \( OM = 2 \) cm, ta có:

\[
OA^2 = 8^2 + 2^2 = 64 + 4 = 68
\]
\[
OA = \sqrt{68} \approx 8.25 \text{ cm}
\]

Do \( M \) là trung điểm của đoạn \( BC \):
- \( BM = CM \)

Mặt khác, vì \( OA \) là trung trực của đoạn \( BC \), nên \( OB = OC \). Gọi \( BM = x \), ta có đoạn thẳng \( BC = BM + CM = x + x = 2x \).

Theo định lý Pythagore trong tam giác \( OMB \):

\[
OB^2 = OM^2 + BM^2
\]
Từ \( OB = OA \), ta có:

\[
OA^2 = OM^2 + BM^2 \Rightarrow 68 = 2^2 + x^2
\]
\[
68 = 4 + x^2 \Rightarrow x^2 = 68 - 4 = 64 \Rightarrow x = 8
\]

Như vậy, \( BM = 8 \text{ cm} \).

### Kết quả

- OA là trung trực của đoạn thẳng BC.
- BM = 8 cm.