Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Các đường cao BM, CN cắt nhau tại I (M ∈ AC; N ∈ AB). Gọi E là trung điểm BC, IE cắt MN tại F. Chứng minh \(\frac{FM}{FN} = \frac{IM^2}{IN^2}\)

Để chứng minh rằng \(\frac{FM}{FN} = \frac{IM^2}{IN^2}\), ta thực hiện các bước sau:

1. **Gọi điểm**: Đặt \(IM = h_M\) và \(IN = h_N\). Khi đó, theo định lý Pythagore trong tam giác vuông \(BIM\) và \(CIN\), ta có:
\[
BM^2 = AB^2 - h_M^2
\]
\[
CN^2 = AC^2 - h_N^2
\]

2. **Sử dụng hệ trục tọa độ**: Đặt \(I\) là gốc tọa độ, \(M\) và \(N\) có tọa độ lần lượt là \((0, h_M)\) và \((0, -h_N)\).

3. **Xác định tỉ lệ các đoạn thẳng**: Sử dụng định lý tỉ lệ để có mối liên hệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác:
\[
FM + FN = MN
\]
Dễ dàng rút ra:
\[
\frac{FM}{FN} = \frac{FM}{MN - FM} = \frac{FM}{FM + FN - FM} = \frac{FM}{MN - FM}
\]

4. **Chú ý đến tỉ lệ giữa các đoạn**: Sử dụng việc \(IE\) cắt \(MN\) tại điểm \(F\) để tạo thành tỉ lệ. Theo định lý Menelaus (hoặc các định lý về tỉ lệ cạnh trong tam giác), ta có:
\[
\frac{FM}{FN} = \frac{IM}{IN}
\]

5. **Kết hợp các tỉ lệ**: Thay \(IM = h_M\) và \(IN = h_N\) vào kết quả trên:
\[
\frac{FM}{FN} = \frac{h_M}{h_N} = \frac{IM^2}{IN^2}.
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng:
\[
\frac{FM}{FN} = \frac{IM^2}{IN^2}.
\]
Điều đó hoàn thành bài toán.