Để tìm các giá trị nguyên của \(x\) sao cho biểu thức \(P = \frac{2x + 1}{x^2 + 1}\) là một số nguyên, ta sẽ phân tích biểu thức này:

1. **Tính mẫu số:**
Mẫu số là \(x^2 + 1\), luôn dương và lớn hơn hoặc bằng 1 cho mọi \(x\) nguyên.

2. **Phân tích điều kiện chia hết:**
Để \(P\) là số nguyên, điều kiện cần thiết là \(2x + 1\) phải chia hết cho \(x^2 + 1\).

Biến đổi điều kiện này như sau:

\[
k = \frac{2x + 1}{x^2 + 1} \implies 2x + 1 = k(x^2 + 1) \implies 2x + 1 = kx^2 + k
\]

Sắp xếp lại, ta có:

\[
kx^2 - 2x + (k - 1) = 0
\]

Để phương trình này có nghiệm nguyên, delta (Δ) phải là một số chính phương:

\[
Δ = (-2)^2 - 4 \cdot k \cdot (k - 1) = 4 - 4k^2 + 4k = 4(1 - k^2 + k)
\]

Để \(Δ\) là số chính phương, \(1 - k^2 + k\) cần là một số không âm. Xét phương trình:

\[
k^2 - k - 1 \leq 0
\]

Tìm nghiệm của phương trình bậc 2 này:

\[
k = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
\]

Nghiệm này có giá trị khoảng:

- \(k_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618\)
- \(k_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx -0.618\)

3. **Giá trị của k:**
Có thể xét các giá trị nguyên của \(k\) trong khoảng từ -1 đến 1:

- Nếu \(k = -1\):
\[
-1 = \frac{2x + 1}{x^2 + 1} \implies 2x + 1 = -x^2 - 1 \implies x^2 + 2x + 2 = 0
\] (Không có nghiệm nguyên)

- Nếu \(k = 0\):
\[
0 = \frac{2x + 1}{x^2 + 1} \implies 2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}
\] (Không phải là số nguyên)

- Nếu \(k = 1\):
\[
1 = \frac{2x + 1}{x^2 + 1} \implies 2x + 1 = x^2 + 1 \implies x^2 - 2x = 0
\implies x(x - 2) = 0
\]
Nghiệm: \(x = 0\) hoặc \(x = 2\).

- Nếu \(k = 2\):
\[
2 = \frac{2x + 1}{x^2 + 1} \implies 2x + 1 = 2(x^2 + 1) \implies 2x + 1 = 2x^2 + 2 \implies 2x^2 - 2x + 1 = 0
\]
Không có nghiệm nguyên.

Vậy nên, các giá trị nguyên của \(x\) sao cho \(P\) là số nguyên là:

\[
\boxed{0 \text{ và } 2}
\]