Tìm các giá trị nguyên của x để P= x+4/2x+1 đạt giá trị nguyên

Để tìm các giá trị nguyên của \( x \) để \( P = \frac{x + 4}{2x + 1} \) là một số nguyên, ta cần điều kiện sau:

\[
P = k \quad (k \text{ là một số nguyên})
\]

Từ đó, ta có:

\[
\frac{x + 4}{2x + 1} = k
\]

Khi nhân chéo, ta sẽ có:

\[
x + 4 = k(2x + 1)
\]

Khai triển:

\[
x + 4 = 2kx + k
\]

Chuyển các hạng tử về một phía:

\[
x - 2kx + 4 - k = 0
\]

Hay là:

\[
(1 - 2k)x + (4 - k) = 0
\]

Để phương trình trên có nghiệm nguyên, ta cần điều kiện:

\[
1 - 2k \neq 0
\]

Và:

\[
x = \frac{k - 4}{1 - 2k}
\]

Ta cần \( k - 4 \) chia hết cho \( 1 - 2k \).

Để điều kiện này trở thành một số nguyên, ta sẽ tính toán thử các giá trị của \( k \):

1. **Khi \( k = 0 \)**:
\[
x = \frac{0 - 4}{1} = -4 \quad (\text{nguyên})
\]

2. **Khi \( k = 1 \)**:
\[
x = \frac{1 - 4}{-1} = 3 \quad (\text{nguyên})
\]

3. **Khi \( k = 2 \)**:
\[
x = \frac{2 - 4}{-3} = \frac{-2}{-3} \quad \text{(không nguyên)}
\]

4. **Khi \( k = -1 \)**:
\[
x = \frac{-1 - 4}{3} = -\frac{5}{3} \quad \text{(không nguyên)}
\]

5. **Khi \( k = 3 \)**:
\[
x = \frac{3 - 4}{-5} = \frac{-1}{-5} \quad \text{(không nguyên)}
\]

Cứ tiếp tục như vậy ta có thể tìm thêm các giá trị, nhưng sẽ tốt hơn nếu ta phân tích \( P \):

Muốn \( P = \frac{x + 4}{2x + 1} \) là nguyên, thì \( 2x + 1 \) phải chia hết cho \( x + 4 \).

Đặt:

\[
P = n \Rightarrow n(2x + 1) = x + 4 \Rightarrow 2nx + n = x + 4
\]

Hay:

\[
(2n - 1)x = 4 - n
\]

Từ đấy tìm \( x \):

\[
x = \frac{4 - n}{2n - 1}
\]

Bây giờ ta tìm các giá trị nguyên của \( n \) cho phép thoả mãn \( 4 - n \) chia hết cho \( 2n - 1 \).

Tổng quát, giá trị nguyên của \( x \) sẽ là:

- \( x = -4 \)
- \( x = 3 \)

Vì vậy các giá trị nguyên của \( x \) để \( P \) là số nguyên là \( x = -4 \) và \( x = 3 \).