Để chứng minh rằng số \( 5 \underbrace{55\ldots5}_{n} \) (chứa \( n \) chữ số 5) không chia hết cho 125, ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Xác định dạng của số**: Số \( 5 \underbrace{55\ldots5}_{n} \) có thể được biểu diễn là:
\[
N = 5 \times (10^n + 10^{n-1} + \ldots + 10^1 + 10^0)
\]
Số trong ngoặc là tổng cấp số nhân với công bội là 10. Tổng này có thể tính bằng công thức:
\[
10^n + 10^{n-1} + \ldots + 10^0 = \frac{10^{n+1} - 1}{10 - 1} = \frac{10^{n+1} - 1}{9}
\]
Do đó, ta có:
\[
N = 5 \times \frac{10^{n+1} - 1}{9}
\]

2. **Xét tính chia hết cho 125**: Số 125 có thể được phân tích ra là \( 5^3 \). Để \( N \) chia hết cho 125, thì \( N \) phải có ít nhất ba yếu tố 5 trong nó.

3. **Xét số lượng yếu tố 5 trong \( N \)**: Từ biểu thức \( N = 5 \times \frac{10^{n+1} - 1}{9} \), ta thấy rằng trong \( N \) có 1 yếu tố 5 từ số 5 bên ngoài. Ta cần xét \( \frac{10^{n+1} - 1}{9} \).

4. **Xét biểu thức \( 10^{n+1} - 1 \)**:
- \( 10^{n+1} \equiv 1 \mod 5 \) (bất kể \( n \)), vì bất kỳ số mũ nào của 10 chia hết cho 5.
- Do đó, \( 10^{n+1} - 1 \equiv 0 \mod 5 \), cho thấy \( 10^{n+1} - 1 \) có ít nhất 1 yếu tố 5.

5. **Chia xét thêm**: Để kiểm tra yếu tố 5 nữa, ta viết \( 10^{n+1} - 1 \):
- \( 10^{n+1} - 1 \) có thể viết là \( (10 - 1)(10^n + 10^{n-1} + ... + 10^0) \).
- \( 10 - 1 = 9 \), không có yếu tố 5.
- Tuy nhiên \( 10^{n} + 10^{n-1} + ... + 10^0 = \frac{10^{n+1} - 1}{9} \).

6. **Số lượng 5 trong \( \frac{10^{n+1} - 1}{9} \)**: Ta sẽ xem xét khi nào \( 10^{n+1} - 1 \equiv 0 \mod 25 \):
- \( 10 \equiv 0 \mod 5 \) và không có 5 trong số 9. Do đó, sẽ có 2 yếu tố 5 trong \( 10^{n+1} - 1 \) nếu \( n \geq 1 \).
- Vậy tổng cộng \( N \) chỉ có 1 + 2 = 3 yếu tố 5 khi \( n \geq 2 \).

7. **Kết luận**:
- Ta có: Nếu \( n = 1 \): \( N = 5 \) (không chia hết).
- Nếu \( n = 2 \): \( N = 55 \) (không chia hết).
- Nếu \( n \geq 3 \), \( N \) có chính xác 3 yếu tố 5 nhưng không đủ chia hết cho 125.

Vậy, số \( 5 \underbrace{55\ldots5}_{n} \) không chia hết cho 125 với mọi \( n \).