Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( F = x - 3y + 1 \) trên miền xác định:

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( F = x - 3y + 1 \) trên miền xác định do các bất đẳng thức cho, ta cần xác định miền hàm số này và tìm các cực trị tại các đỉnh của miền.

### Các bất đẳng thức:
1. \( 2x - y \leq 4 \)
2. \( y - x \leq 1 \)
3. \( x + y \geq 2 \)
4. \( x > 0 \)
5. \( y \geq 0 \)

### Bước 1: Vẽ miền xác định
Ta sẽ lần lượt xác định các đường biên của các bất đẳng thức trên.

1. **Đường \( 2x - y = 4 \)**:
- Khi \( x = 0 \): \( y = -4 \) (không có)
- Khi \( y = 0 \): \( x = 2 \) (điểm (2, 0))

2. **Đường \( y - x = 1 \)**:
- Khi \( x = 0 \): \( y = 1 \) (điểm (0, 1))
- Khi \( y = 0 \): \( x = -1 \) (không có)

3. **Đường \( x + y = 2 \)**:
- Khi \( x = 0 \): \( y = 2 \) (điểm (0, 2))
- Khi \( y = 0 \): \( x = 2 \) (điểm (2, 0))

### Bước 2: Tìm các điểm giao nhau
Ta tìm các điểm giao nhau của các đường:

- **Giao điểm giữa \( 2x - y = 4 \) và \( y - x = 1 \)**:
\[
y = 2x - 4 \quad \text{thay vào} \quad 2x - (2x - 4) = 1 \Rightarrow 4 = 1 \quad (không có)
\]

- **Giao điểm giữa \( y - x = 1 \) và \( x + y = 2 \)**:
\[
y = x + 1 \quad \text{thay vào} \quad x + (x + 1) = 2 \Rightarrow 2x + 1 = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2}, y = \frac{3}{2} \quad \text{(điểm } (0.5, 1.5))
\]

- **Giao điểm giữa \( 2x - y = 4 \) và \( x + y = 2 \)**:
\[
y = 2 - x \quad \text{thay vào} \quad 2x - (2 - x) = 4 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2, y = 0 \quad \text{(điểm } (2, 0))
\]

### Các đỉnh của miền khả thi:
1. \( (0, 2) \)
2. \( (2, 0) \)
3. \( (0.5, 1.5) \)

### Bước 3: Tính giá trị của \( F \) tại các đỉnh
- Tại \( (0, 2) \):
\[
F(0, 2) = 0 - 3(2) + 1 = -6 + 1 = -5
\]

- Tại \( (2, 0) \):
\[
F(2, 0) = 2 - 3(0) + 1 = 2 + 1 = 3
\]

- Tại \( (0.5, 1.5) \):
\[
F(0.5, 1.5) = 0.5 - 3(1.5) + 1 = 0.5 - 4.5 + 1 = -3
\]

### Kết luận
Giá trị lớn nhất xảy ra tại \( (2, 0) \) với:
\[
\text{Giá trị lớn nhất của } F = 3.
\]