Để chứng minh bất đẳng thức \((x+y+z)^2 \geq 3(xy + yz + zx)\), chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc phương pháp khai triển và sắp xếp lại các số hạng.

### Phương pháp khai triển

1. **Khai triển vế trái:**
\[
(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx)
\]

2. **Thay vào bất đẳng thức:**
Chúng ta cần chứng minh:
\[
x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) \geq 3(xy + yz + zx)
\]

3. **Sắp xếp lại:**
Chuyển tất cả các hạng tử về một phía:
\[
x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) - 3(xy + yz + zx) \geq 0
\]
tương đương với:
\[
x^2 + y^2 + z^2 - (xy + yz + zx) \geq 0
\]

4. **Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:**
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong dạng sau:
\[
(x^2 + y^2 + z^2)(1 + 1 + 1) \geq (x + y + z)^2
\]
Khi áp dụng cho ba số hạng là \(x^2, y^2, z^2\):
\[
3(x^2 + y^2 + z^2) \geq (x+y+z)^2
\]

5. **Áp dụng kết quả này:**
Sử dụng bất đẳng thức trên, ta có:
\[
x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{(x+y+z)^2}{3}
\]

6. **Kết hợp với các hạng tử còn lại:**
Bây giờ, ta quay lại với bất đẳng thức cần chứng minh:
\[
x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz + zx
\]
Suy ra:
\[
x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \geq 0
\]
Điều này đúng theo bất đẳng thức có thể chứng minh bằng cách nhận thấy rằng:
\[
(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \geq 0
\]

### Kết luận

Từ tất cả các bước trên, ta thấy rằng bất đẳng thức:
\[
(x+y+z)^2 \geq 3(xy + yz + zx)
\]
luôn đúng với tất cả các giá trị thực của \(x\), \(y\), và \(z\).