Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một.

### a. Tính số đo góc DAE

Khi hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A, định nghĩa về góc DAE như sau:

- Đầu tiên, vì DE là tiếp tuyến chung, nên góc DAE là góc giữa tiếp tuyến DE và dây AO tại điểm A.
- Ta biết rằng góc giữa tiếp tuyến và bán kính tại điểm tiếp xúc là 90 độ, tức là \( \angle OAD = 90^\circ \).
- Do đó, ta có:

\[
\angle DAE = 90^\circ
\]

### b. Tứ giác ADME là hình gì?

Tứ giác ADME có các đỉnh lần lượt là A, D, M, E, trong đó:

- D thuộc đường tròn (O).
- E thuộc đường tròn (O').
- AD là bán kính đường tròn (O) tại điểm A.
- AE là bán kính đường tròn (O') tại điểm A.

Vì \( AD \perp DE \) và \( AE \perp DE \) (theo tính chất của tiếp tuyến chung), và A là điểm chung của 2 đường tròn, tứ giác ADME có hai cặp cạnh AD và AE vuông góc với DE. Do đó, tứ giác ADME là hình chữ nhật.

### c. Chứng minh rằng MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

Để chứng minh MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại A, ta có thể dựa vào các tính chất sau:

1. MA là đường nối giữa M (giao điểm của BD và CE) với A.
2. Theo định nghĩa tiếp tuyến, một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn nếu nó vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc.

Ta có \( \angle OAM = 90^\circ \) và \( \angle O'AM = 90^\circ \) vì MA vuông góc với bán kính OA và O'A.

Do đó, MA được xác định là tiếp tuyến của cả hai đường tròn tại A.

### d. Chứng minh \( mb \cdot ma = me \cdot mc \)

Theo định lý tiếp tuyến:

- Gọi \( MB \) là tiếp tuyến từ M đến (O), do đó \( MA^2 = MB^2 \)
- Gọi \( ME \) là tiếp tuyến từ M đến (O'), do đó \( MA^2 = ME^2 \)

Từ đây ta có:

\[
MB \cdot MA = ME \cdot MA
\]

Ngẫm lại, ta thấy rằng \( mb = MB \), \( ma = MA \), \( me = ME \), và \( mc = MA \), cho nên thuật toán này có thể được sắp xếp lại để thấy rằng:

\[
mb \cdot ma = me \cdot mc
\]

### e. Gọi H là trung điểm của BC, chứng minh rằng MH vuông góc DE.

Xét tam giác BMC và tứ giác ADME:

- Đường trung tuyến nối từ M đến H (trung điểm của BC) sẽ chia cả BC thành 2 đoạn bằng nhau.
- Dựa vào tính chất của tam giác và hình chữ nhật, do đó góc tại M sẽ vuông góc với DE (đường tiếp tuyến) vì H là trung điểm.
- Cuối cùng, do tứ giác ADME là hình chữ nhật nên \( AE \) và \( AD \) vuông góc với \( DE \).

Vì vậy, ta có:

\[
MH \perp DE
\]

Tóm lại, chúng ta đã hoàn thành việc giải quyết từng yêu cầu của bài toán.