Chứng minh rằng 3 điểm sau thẳng hàng

Để chứng minh rằng ba điểm \( A(1, 2) \), \( B(2, 1) \) và \( C(0, -3) \) thẳng hàng, ta có thể sử dụng phương pháp tính độ dốc (slope) hoặc tính toán định thức.

### Phương pháp 1: Tính độ dốc

Hai điểm \( A \) và \( B \):
- Độ dốc \( m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{1 - 2}{2 - 1} = -1 \)

Hai điểm \( A \) và \( C \):
- Độ dốc \( m_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{-3 - 2}{0 - 1} = \frac{-5}{-1} = 5 \)

Hai điểm \( B \) và \( C \):
- Độ dốc \( m_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{-3 - 1}{0 - 2} = \frac{-4}{-2} = 2 \)

Khi độ dốc không bằng nhau, tức là \( m_{AB} \neq m_{AC} \neq m_{BC} \), vậy ba điểm này không thẳng hàng.

### Phương pháp 2: Tính định thức

Ta có thể sử dụng định thức của ma trận:

\[
D = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
x_A & y_A & 1 \\
x_B & y_B & 1 \\
x_C & y_C & 1
\end{vmatrix} = 0
\]

Áp dụng vào ba điểm \( A(1, 2) \), \( B(2, 1) \), \( C(0, -3) \):

\[
D = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 1 \\
0 & -3 & 1
\end{vmatrix}
\]

Tính định thức:

```
D = 1 \cdot \begin{vmatrix}
2 & 1 \\
-3 & 1
\end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix}
1 & 2 \\
0 & -3
\end{vmatrix}
```

Tính các định thức nhỏ:
- \( \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = (2 \cdot 1) - (1 \cdot -3) = 2 + 3 = 5 \)
- \( \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1) - (1 \cdot 0) = 1 \)
- \( \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -3 \end{vmatrix} = (1 \cdot -3) - (2 \cdot 0) = -3 \)

Thay vào công thức:

\[
D = 1 \cdot 5 - 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-3) = 5 - 1 - 3 = 1
\]

Vì \( D \neq 0 \), ba điểm \( A \), \( B \), và \( C \) không thẳng hàng.

Kết luận: Ba điểm \( A(1, 2) \), \( B(2, 1) \), và \( C(0, -3) \) không thẳng hàng.