### Bài 11

Để giải phương trình \((x + 5)(y - 3) = 15\), ta có thể đặt:

\[
x + 5 = m \quad \text{và} \quad y - 3 = n
\]

Vậy:

\[
mn = 15
\]

From here, we have:

\[
x = m - 5 \quad \text{và} \quad y = n + 3
\]

Bây giờ, ta sẽ tìm các cặp số nguyên dương \((m, n)\) sao cho \(mn = 15\):

- \(1 \times 15\)
- \(3 \times 5\)
- \(5 \times 3\)
- \(15 \times 1\)

Liệt kê các cặp \((m, n)\):

1. \(m = 1\), \(n = 15\):
- \(x = 1 - 5 = -4\) (không phải số tự nhiên)
- \(y = 15 + 3 = 18\)

2. \(m = 3\), \(n = 5\):
- \(x = 3 - 5 = -2\) (không phải số tự nhiên)
- \(y = 5 + 3 = 8\)

3. \(m = 5\), \(n = 3\):
- \(x = 5 - 5 = 0\) (là số tự nhiên)
- \(y = 3 + 3 = 6\)

4. \(m = 15\), \(n = 1\):
- \(x = 15 - 5 = 10\) (là số tự nhiên)
- \(y = 1 + 3 = 4\)

Vậy các cặp \((x, y)\) thoả mãn phương trình là:
- \((0, 6)\)
- \((10, 4)\)

### Bài 12

**1. Tìm a, b thỏa mãn \(a + b = 120\), \(UCLN(a; b) = 12\)**

Giả sử \( a = 12m \) và \( b = 12n \) với \(UCLN(m, n) = 1\).

Ta có:

\[
12m + 12n = 120 \implies m + n = 10
\]

Các cặp số nguyên dương \((m, n)\) thoả mãn \(m + n = 10\) là:
- \( (1, 9) \)
- \( (2, 8) \)
- \( (3, 7) \)
- \( (4, 6) \)
- \( (5, 5) \)
- \( (6, 4) \)
- \( (7, 3) \)
- \( (8, 2) \)
- \( (9, 1) \)

Các cặp \((a, b)\) là:
- \((12, 108)\)
- \((24, 96)\)
- \((36, 84)\)
- \((48, 72)\)
- \((60, 60)\)
- \((72, 48)\)
- \((84, 36)\)
- \((96, 24)\)
- \((108, 12)\)

**2. Tìm a, b thỏa mãn \(a \cdot b = 6936\), \(UCLN(a; b) = 34\)**

Giả sử \( a = 34m \) và \( b = 34n \) với \(UCLN(m,n) = 1\).

Ta có:

\[
34m \cdot 34n = 6936 \implies 1156mn = 6936 \implies mn = 6
\]

Các cặp số nguyên dương \((m, n)\) thoả mãn \(mn = 6\) là:
- \( (1, 6) \)
- \( (2, 3) \)
- \( (3, 2) \)
- \( (6, 1) \)

Các cặp \((a, b)\) là:
- \((34, 204)\)
- \((68, 102)\)
- \((102, 68)\)
- \((204, 34)\)

**Tóm lại:**
- Bài 11: Cặp \((x,y)\): \((0, 6)\) và \((10, 4)\).
- Bài 12: a, b có các cặp như đã liệt kê ở trên.