Cho hàm số y

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một:

### a) Khi m = -1 thì hàm số đồng biến trên \((-∞; +∞)\)

Hàm số được cho là:

\[
y = 2x^3 + 2(-1 + 1)x^2 + 6x + 4 + 2(-1) = 2x^3 + 6x + 2
\]

Công thức tính đạo hàm:

\[
y' = 6x^2 + 6
\]

Hàm số đồng biến khi \(y' \geq 0\).

### b) Hàm số \(y = 2x^3 + 2(m + 1)x^2 + 6x + 4 + 2m\) không có cực trị khi \(m = 1\)

Thay \(m = 1\):

\[
y = 2x^3 + 2(1 + 1)x^2 + 6x + 4 + 2(1) = 2x^3 + 4x^2 + 6x + 6
\]

Tính đạo hàm:

\[
y' = 6x^2 + 8x + 6
\]

Để hàm không có cực trị, \(y'\) phải luôn dương. Ta kiểm tra định thức của phương trình bậc 2:

\[
D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 64 - 144 < 0
\]

Vì \(D < 0\), hàm số không có cực trị.

### c) Có 3 giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(y = 2x^3 + 2(m + 1)x^2 + 6x + 4 + 2m\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Hàm số đồng biến khi đạo hàm \(y' \geq 0\).

\[
y' = 6x^2 + 2(m + 1) x + 6
\]

Phương trình bậc 2 sẽ đồng biến nếu có nghiệm phân biệt, điều này có nghĩa là \(D = 2(m + 1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 < 0\).

Giải bất phương trình này để tìm giá trị của \(m\).

### d) Hàm số \(y = 2x^3 + 2(m + 1)x^2 + 6x + 4 + 2m\) đạt cực tiểu tại \(x = 2\) khi \(m \in (2; 5)\)

Thay \(x = 2\) vào đạo hàm và giải phương trình để tìm giá trị của \(m\).

Tóm lại, bài toán yêu cầu bạn tính toán đạo hàm và tìm các điều kiện cần thiết cho từng phần một. Nếu bạn cần hướng dẫn cụ thể hơn cho từng phần, hãy cho tôi biết!